Suite très intéressante

Pour voir comment s'exprime $u_{n+1}$ fais l'essai pour n=3 ou n=4.

Cordialement.

Tu as eu l'idée de calculer u(n+1)/u(n).

Bien. Et tu as trouvé une formule simple, normalement. Et donc tu as conclu, normalement.

Donc la question est finie ?

Bonjour,

$$\newline \frac{v_{n+1}}{v_{n}}=\frac{(n+2)(2n+1)^2}{(n+1)(2n+2)^2}=\frac{4n^{3}+12n^{2}+9n+2}{4n^{3}+12n^{2}+12n+4} \newline \forall x>0: 0<\frac{v_{n+1}}{v_{n}}<1 \newline v_{1}=1 \newline \forall n>1:0<\sqrt{v_{n}}<1 \newline u_{\infty}=\lim\limits_{n \to \infty} \Big(\frac{\sqrt{v_{n}}}{n+1}\Big)=0 $$

@lourran Je ne comprends mon le problème (de toute façon $u_n$ vaut 0 car $v_n$ converge.

Sinon, en sachant que $u_{n}$ tend vers 0, on peut démontrer que $v_{\infty}={1\over\pi}$

$$v_{n}=(n+1)\frac{1\times1\times3\times3\times5\times5\times...\times(2n-1)\times(2n-1)}{2\times2\times4\times4\times6\times6\times..\times2n\times2n}\newline 2v_{n}=\frac{1\times3\times3\times5\times5\times7\times...\times(2n-1)\times(2n+1)}{2\times2\times4\times4\times6\times6\times...\times2n\times2n}+u_{n}\newline 2v_{n}=\prod_{k=1}^{n}\Big(\frac{4k^2-1}{4k^2}\Big)+u_{n}\newline \lim\limits_{n \to \infty}(2v_{n}))=2v_{\infty}=\prod_{k=1}^{\infty}\Big(\frac{4k^2-1}{4k^2}\Big)\newline \sin(\pi z)=\pi z \prod_{k=1}^{\infty}\Big(1-\frac{z^2}{n^2}\Big)\newline \sin\Big({\pi\over2}\Big)={\pi\over2}\prod_{k=1}^{\infty}\Big(1-\frac{1}{4n^2}\Big)={\pi\over2}\prod_{k=1}^{\infty}\Big(\frac{4n^2-1}{4n^2}\Big)=1\newline {2\over\pi}=\prod_{k=1}^{\infty}\Big(\frac{4n^2-1}{4n^2}\Big)=2v_{\infty}\newline v_{\infty}={1\over\pi}$$

@Chaurien, C'est élémentaire le développement en produit du sinus.(En prenant les racines du "polynôme"  sin(x)/x)

Bonjour,

Dans Bourbaki, fonctions d'une variable réelle, on montre le développement Eulérien du sinus cardinal par passage à la limite $n=2m+1\to\infty$ dans la factorisation : 
Cette factorisation est obtenue via la formule d'Euler $2i \sin(nz) = (e^{iz})^n - \frac{1}{(e^{iz})^n}$ en factorisant la fraction rationnelle $x^n - \frac{1}{x^n} = \frac{(x^{2})^n-1}{x^n}$.

Bonjour

la suite de terme général $u_n$ peut s'écrire : $u_n = \frac{2n!}{2^{2n}(n!)^2}$
équivalent à $\frac{1}{\sqrt{n\pi}}$ en utilisant les applications des intégrales de Wallis

la convergence vers 0 de la suite est donc celle de $\frac{1}{\sqrt{n\pi}}$

quant à la suite $v_n$ elle admet un équivalent asymptotique soit $\frac{n+1}{n\pi}$
et la suite de terme général $v_n$ converge vers $\frac{1}{\pi}$

Cordialement