Caractérisation des algèbres de Lie de contact

Bonjour
Commençons avec la définition suivante :
définition.  Une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ de dimension $2n+1$  est appelée algèbre de Lie de contact s'il existe $f \in \mathfrak{g}^{*}$ telle que $f \wedge (df)^{n} \neq 0$, où $df$ est la dérivée extérieure par rapport à la cohomologie scalaire de Chevalley-Eilenberg , c'est-à-dire $df(x,y)=-f([x,y])$.
Par exemple, si $\mathfrak{g}=\left<{e_{1},e_{2},e_{3}}\right>$ est l'algèbre de Lie de Heisenberg, i.e, le seul crochet  de Lie non trivial est $[e_{1},e_{2}]=e_{3}$ et nous prenons $f=e^{3}$ alors $df=- e^{1}\wedge e^{2}$ et donc $f\wedge df=-e^{3} \wedge e^{1} \wedge e^{2}$, c'est-à-dire $\mathfrak{g}$ est de contact.
Une fois dit ça, je veux montrer que si $\mathfrak{g}=\langle e_{1},e_{2}, \ldots , e_{2n+1} \rangle$,  et nous et considérons la matrice


où $C_{ij}=[e_{i},e_{j}]$, alors $f \wedge (df)^{n} \neq 0$ si et seulement si $\det( f( \hat{C}) ) \neq 0$, où $(f(\hat{C}))_{ij}=f(\hat{C}_{ij})$. 
En petites dimensions, c'est plus ou moins clair, par exemple si $n=1$ comme avant alors 
$f \wedge df = \left( f(e_{1}) df(e_{2},e_{3}) -f(e_{2})df(e_{1},e_{3})+f(e_{3})df(e_{1},e_{2})    \right) e^{1} \wedge e^{2} \wedge e^{3}$
et on voit que $f(e_{1}) df(e_{2},e_{3}) -f(e_{2})df(e_{1},e_{3})+f(e_{3})df(e_{1},e_{2})  $ est le pfaffien de la matrice $f(\hat{C})$ et donc $f \wedge df \neq 0$ si et seulement si $\det( f( \hat{C}) ) \neq 0$.
Donc la conjecture est que $f \wedge (df)^{n}= P_{ff}(f ( \hat{C}    )) e^{1} \wedge \cdots \wedge e^{2n+1}$ où $P_{ff}(f ( \hat{C}    ))$ est le pfaffien de la matrice $f(\hat{C})$. Cependant, je n'ai pas pu le démontrer de manière générale.