Exponentielle, logarithme complexe
Bonjour, soit $\begin{align*}
f:U_1 &\to U_2 \\
z&\mapsto e^z
\end{align*}$ où $U_1=\{z\mid -\pi<\Im (z)<\pi\}$ et $U_2=\{w\mid \arg w\neq \pi\}$. C'est ainsi que mon cours définit les domaines qui rend l'exponentielle complexe bijective et donc qui admet sa fonction inverse $g:U_2\to U_1$.
Première question (voir 1ère photo): Si je pose cette fois la fonction $\begin{align*}
\exp:\tilde U_1 &\to \tilde U_2 \\
t&\mapsto e^{2\pi it}
\end{align*}$ où $\tilde U_1=]a,a+1[$ pour $a\in \mathbb R$ et $\tilde U_2=\{w\mid \arg w\neq 2\pi a\}$ alors j'ai encore la bijectivité n'est-ce pas? Et donc la possibilité de définir $\ln:\tilde U_2\to \tilde U_1$. Mais ma question est, quel est le lien entre toutes les fonctions logarithmes? Est-ce qu'on a un domaine standard et qu'ensuite pour tous les domaines différents qui rendent l'exponentielle bijective, il suffit de multiplier le logarithme "standard" pour avoir la fonction inverse?
Plus précisément, par exemple dans mon cours est posée la fonction $\frac{\ln}{2\pi i}:\tilde U_2\to \tilde U_1$ mais je ne comprends pas à quoi fait référence cette fonction $\ln$ dans ce cas?
Deuxième question (voir 2ème photo): Je n'ai jamais vu pourquoi cette fonction logarithme est elle aussi continue. J'ai essayé de faire quelque chose dans la deuxième photo.
Supposons qu'on a la fonction $\begin{align*}
f:U_1 &\to U_2 \\
x&\mapsto e^{ix}
\end{align*}$ où $U_1=]-\pi,\pi[$ et $U_2=\{y\mid \arg y\neq \pi\}$ et $g:=f^{-1}$. Je montre que $g$ est continue en tout point: Je prends $y\in U_2$ et $N$ un voisinage de $g(y)$. On "voit" que $g^{-1}(N)$ est toujours un voisinage de $y$. Je ne sais pas si c'est très rigoureux... Merci pour votre aide.
f:U_1 &\to U_2 \\
z&\mapsto e^z
\end{align*}$ où $U_1=\{z\mid -\pi<\Im (z)<\pi\}$ et $U_2=\{w\mid \arg w\neq \pi\}$. C'est ainsi que mon cours définit les domaines qui rend l'exponentielle complexe bijective et donc qui admet sa fonction inverse $g:U_2\to U_1$.
Première question (voir 1ère photo): Si je pose cette fois la fonction $\begin{align*}
\exp:\tilde U_1 &\to \tilde U_2 \\
t&\mapsto e^{2\pi it}
\end{align*}$ où $\tilde U_1=]a,a+1[$ pour $a\in \mathbb R$ et $\tilde U_2=\{w\mid \arg w\neq 2\pi a\}$ alors j'ai encore la bijectivité n'est-ce pas? Et donc la possibilité de définir $\ln:\tilde U_2\to \tilde U_1$. Mais ma question est, quel est le lien entre toutes les fonctions logarithmes? Est-ce qu'on a un domaine standard et qu'ensuite pour tous les domaines différents qui rendent l'exponentielle bijective, il suffit de multiplier le logarithme "standard" pour avoir la fonction inverse?
Plus précisément, par exemple dans mon cours est posée la fonction $\frac{\ln}{2\pi i}:\tilde U_2\to \tilde U_1$ mais je ne comprends pas à quoi fait référence cette fonction $\ln$ dans ce cas?
Deuxième question (voir 2ème photo): Je n'ai jamais vu pourquoi cette fonction logarithme est elle aussi continue. J'ai essayé de faire quelque chose dans la deuxième photo.
Supposons qu'on a la fonction $\begin{align*}
f:U_1 &\to U_2 \\
x&\mapsto e^{ix}
\end{align*}$ où $U_1=]-\pi,\pi[$ et $U_2=\{y\mid \arg y\neq \pi\}$ et $g:=f^{-1}$. Je montre que $g$ est continue en tout point: Je prends $y\in U_2$ et $N$ un voisinage de $g(y)$. On "voit" que $g^{-1}(N)$ est toujours un voisinage de $y$. Je ne sais pas si c'est très rigoureux... Merci pour votre aide.
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Réponses
Bonjour, je reviens simplifier ma question car peut-être ce n'était pas clair. Soit $$\begin{align*} f:U_1 &\to U_2 \\ z&\mapsto e^z \end{align*}$$
Où $U_1=\{z\mid -\pi<\Im (z)<\pi\}$ et $U_2=\{w\mid \arg w\neq \pi\}$.
Comme vous le savez sans doute, ces domaines rendent $f$ bijective ce qui permet de définir son inverse $g:U_2→U_1$ appelée le logarithme $\ln$.
Ma question est alors, si je définis cette fois $$\begin{align*} \exp:\tilde U_1 &\to \tilde U_2 \\ t&\mapsto e^{2\pi it} \end{align*}$$
Où $\tilde U_1=]a,a+1[$ pour $a\in \mathbb R$ et $\tilde U_2=\{w\mid\arg w≠2\pi a\}$, alors dans ces domaines $\exp$ est aussi bijective je crois et donc on a une fonction inverse que je note ici $\tilde g:\tilde U_2\to \tilde U_1$.
Dans un corrigé cependant, il est posé que la fonction inverse de $\exp$ est $\frac{\ln}{2\pi i}$, à quelle fonction $\ln$ est-il fait référence ici ? Merci.
N’importe quel logarithme défini sur ˜U2 convient.
Edit : désolé, je ne suis pas encore au point avec LaTeX sur le nouveau forum.
Je vois MrJ, mais il ne peut y avoir qu'un seul logarithme non? (Unicité de l'inverse). Ici c'est posé $\frac{\ln}{2\pi i}$ or je ne vois pas pourquoi on divise par $2\pi i$.
Parce que le $\ln$ utilisé (*) provient de $e^z$ alors que c'est maintenant $e^{2\pi i t}$. C'est le passage de z à t.
Cordialement.
(*) Il y a plusieurs définitions possibles de $\ln$, tu en as choisi une.
Ah je vois merci 🙂.
Cette fois-ci tu pourras exprimer l’argument d’un complexe de $U_2$ avec une autre fonction usuelle que $\arctan$, mais tu obtiendras aussi la continuité.
Aussi on pourra conclure en disant que vu que $\ln$ est continue sur $U_2,U_2^2,U_2^3$ alors $\ln$ est continue sur leur union? Je ne vois pas trop de quel critère il s'agit. j'ai déjà vu un critère similaire en topologie mais il marche seulement si les $U_2$ sont soit tous fermés ou tous ouverts.
Mais pour $w\in U_2^ 3=\{w\mid \Im(w)<0\}$ d'après ta remarque si $\theta\in\,]{-}\pi,0[$ alors on a que $-\theta\in\,]0,\pi[$ donc il faut prendre la fonction $\arccos \big(\cos(-\theta)\big)$ et non $\arcsin\big(\sin(-\theta)\big)$. Mais ceci donne que $\theta=-\arccos\big(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\big)$ et donc on a un problème vu que Cauchy-Riemann n'est plus vérifié...