Existence d'une fonction continue avec certaines restrictions

evariste21 · November 2021

Bonjour
Trouver toutes les fonctions continues $f: [0;1]\subseteq \mathbf{R}\to \mathbf{R}$ telles que

$\displaystyle 2022\int_{0}^{1}f^{2}(x){\rm d}x\leqslant 1$.
$\displaystyle 2022 \int_{0}^{1}xf(x){\rm d}x\geqslant 1$.

Y a-t-il un moyen de changer $2022$ en une constante $C\in \mathbf{R}$ fixe ?
Merci.

Georges Abitbol · November 2021

Ben 2022 c’est très fixe !

Georges Abitbol · November 2021

Bon, sinon, notons $E$ l’espace préhilbertien des fonctions continues muni du produit scalaire donné par l’intégrale du produit. Notons $i$ la fonction identité.

On cherche les vecteurs $f$ de $E$ tels que $C\langle f,f\rangle \leq 1$ et $C\langle f,i\rangle \geq 1$.

Est-ce que cette reformulation t’aide un peu à avancer ?

Chaurien · November 2021

Je crois avoir une idée pour $C \in ]0,3]$, mais pour $C=2022$, pour l'instant je ne vois pas.

Et d'où nous vient ce bel énoncé ?

Rescassol · November 2021

Bonjour

Pour toute fonction continue positive $f$ sur $[0;1]$, la fonction définie par $g(x)=\dfrac{f(x)}{\sqrt{2022}\times \sup(f)}$ fait l'affaire pour la première inégalité.
Ça en fait beaucoup.

Cordialement,

Rescassol

Georges Abitbol · November 2021

Bon, si on en croit ma reformulation, l'ensemble $f$ des fonctions continues qui sont solutions des inégalités proposées est l'intersection, dans $E$, de la boule fermée de rayon $\frac{1}{\sqrt{C}}$ et d'un certain demi-espace fermé qui est à distance $\frac{\sqrt{3}}{C}$ de l'origine. C'est donc un ensemble non vide si et seulement si $C \geq 3$.

On peut ajouter que si $C = 3$, il y a un unique point (c'est la fonction identité) ; et si $C > 3$, pour toute fonction continue $f$, il y a une infinité de solutions dans le plan engendré par l'identité et $f$.

Existence d'une fonction continue avec certaines restrictions

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