Hardy dit que c'est clair

hicham 
hicham 
dans Analyse
Pour moi, pas tant que ça : si $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence $1$, si $\sum a_nx^{n^2}$ tend vers $L$ quand $x$ tend vers $1^-$, alors $\sum a_nx^n$ tend aussi vers $L$.
Il ne le demontre pas mais le prouve plus loin dans un cadre plus general en disant que le cas particulier ci-dessus est clair.

Des idees ?

Je remercie d'avance ceux qui repondront, car taper du latex avec un portable est penible ; mettre les accents aussi.

Cdlt, Hicham

Réponses

  • john_john
    john_john
    Bonjour, Hicham,

    je ne suis pas sûr d'avoir compris la question : si Hardy démontre un résultat plus général (un thm de Mary Cartwright, sans doute), cela entraîne le résultat particulier. Je suppose que tu as voulu dire que Hardy écrit que le cas particulier est facile à établir directement, non ?
  • Boécien
    Boécien
    Modifié (November 2021)
    Peut-être essayer de montrer que pour $0<x<1$ on a $\left|\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}x^{k^{2}}-\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}x^{k}\right|<C(1-x)$  pour une constante $C>0$

  • john_john
    john_john
    Bonjour, Béocien,
    certes, mais c'est plus exigeant que le résultat à démontrer et, en outre, cela ne marche pas, me semble-t-il : si tu prends $a_0=0$ et $a_n=\frac1{n^3}$ pour $n\geqslant1$, alors $\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ se prolonge en une fonction C$^1$ sur $[0,1]$ alors que $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n^{2}}$ a un graphe présentant une demi-tangente verticale.
  • Boécien
    Boécien
    Effectivement John-john, ça marche pour a(n)=(-1)^n mais pas pour a(n)=1/n^3 ou a(n)=1/n^2 qui donne un truc qui semble borné par C*(1-x)^(1/2)... Tu as une démo?
  • john_john
    john_john
    Oui, pour estimer $\sum x^{n^2}/n^3$, avec $x\in]0,1[$, il suffit d'en encadrer le terme général par deux intégrales de $t\mapsto x^{t^2}/t^3$ sur les segments respectifs $[n-1,n]$ et $[n,n+1]$, intégrales dans lesquelles on fait ensuite le changement de variable d'intégration $t\longleftarrow u$, où $u=-t^2\ln x$. on obtient alors un équivalent à l'aide de la fonction $\Gamma$.
  • Boécien
    Boécien
    Merci je vois maintement comment traiter le cas a(n)=1/n^r et r>1. Sais-tu où peut on lire la démonstration dont parle Hicham dans le cadre plus général?
  • john_john
    john_john
    Pour l'instant, non ! Un truc qui marche souvent consiste à effectuer le produit de Cauchy par $\sum x^n$, ce afin de supprimer les termes nuls et donc de régulariser le terme général. Autrement dit, diviser par $1-x$ alors qu'il semble si naturel de multiplier par cela. Ce principe montre facilement que $\sum_0^\infty(-1)^{n}x^{n^2}$ tend vers $1/2$ quand $x\stackrel<\to1$.
  • Boécien
    Boécien
    J'y étais aussi arrivé pour ce cas a(n)=(-1)^n car on arrive bien à estimer la différence du haut qui vaut sauf erreur (1-x)/2+(1-x)^2/4+... J'ai lu aussi des truc sur le "high indices theorem" de Hardy-Littlewood mais n^2 ne croit pas assez vite. C'est pas trivial ce résultat! Hicham nous lit? Si oui merci de donner sa référence.
  • john_john
    john_john
    ìl me l'a donnée par courriel pendant la période de flottement due au changement de serveur : G.H.Hardy cite cela dans Divergent Series page 60 et prouve le résultat plus général dans une annexe à la fin de l'ouvrage ; c'est effectivement un théorème de Mary Cartwright. N'ayant pas ce livre, je n'ai pas vérifié.
  • Boécien
    Boécien
    Merci je vais essayer de le consulter. La condition un peu restrictive na(n)=O(1) peut-elle permettre de conclure, ou o(1)?
  • Boécien
    Boécien
    J'ai pu consulter l'ouvrage en question sur Gallica: https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k26766p.image et effectivment page 60 Hardy dit qu'on peut prouver le résultat directement sans utiliser le théorème général...

  • marsup
    marsup
    Modifié (November 2021)
    Bonsoir tout le monde,

    J'ai suivi le lien de Boécien, et je crois comprendre que l'auteur donne, à la fin du chapitre, des indices quant à ces résultats "easy".

    (page 63 du livre, numérotée 85 dans le fichier PDF)
  • john_john
    john_john
    Modifié (November 2021)
    Maintenant qu'on le sait, c'est effectivement easy ! Toutefois, comme le dit spirituellement un de mes collègues, one can easily see that signifie en fait Only one can easily see (et ce one n'était pas moi ; peut-être quelque Indien génial !)

    Nota bene : tout de même, il y a de quoi rester admiratif devant l'élégance du calcul.
  • Boécien
    Boécien
    Merci Marsup d'avoir vu cette remarque de Hardy! Pour ma complète information comment justifier le passage à la limite y-->0 dans l’intégrale dont les bornes sont 0 et l'infini je suppose?
  • john_john
    john_john
    Modifié (November 2021)
    Théorème de convergence dominée, sachant que $\psi$ est bornée (elle l'est notamment parce que $x\in[0,1[\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{n^2}$ se prolonge en une fonction continue sur $[0,1]$, vu les hypothèses).
  • Boécien
    Boécien
    Merci john^2
  • john_john
    john_john
    De rien, Boécien !
  • john_john
    john_john
    En regardant les formules de Hardy, je me suis demandé si on ne pouvait pas obtenir d'autres résultats que celui qui faisait l'objet de l'exo. Par exemple, on voit que, si $\sum a_nx^{n^2}$ est majorée en module par $M$ en tout point de $[0,1[$, alors il en va de même pour $\sum a_nx^n$. 

    D'autres idées ?
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