Notation pour définir une fonction sur $\mathbb R$

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dans Analyse
Bonjour, je dispose d'une suite de fonctions continues $f_n:[-n,n]\to \mathbb R$ tel que pour $m\geq n, f_m\vert_{[-n,n]}=f_n$. J'aimerais définir la fonction continue $f:\mathbb R\to \mathbb R$ associée aux $f_n$. J'ai envie de dire que pour $x\in \mathbb R,f(x)=f_{\lfloor |x| \rfloor +1}(x)$ mais je n'arrive pas à voir comment cela permet effectivement de dire que $f$ est bien définie au vu de mes hypothèses, en fait j'ai l'impression de correctement définir ma fonction point par point si vous voyez ce que je veux dire.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Ta définition convient effectivement. Pour le justifier, tu peux utiliser l'idée que $f$ est la limite ponctuelle de la série des $f_n$, en te souvenant que la limite d'une suite stationnaire est la valeur de la suite où elle reste constante.

    Cordialement.
  • Code_Name
    Code_Name
    Merci c'est clair  :)
  • Foys
    Foys
    Modifié (November 2021)
    L'ensemble $f:=\bigcup_{n \in \N} f_n =\{(a,b) \mid \exists n \in \N, a \in [-n,n] \text{ et }b= f_n(a)\}$ est une fonction (i.e. un graphe fonctionnel: c'est un ensemble de couples comme $f_n$ pour tout $n$; et cet ensemble de couples est tel que pour tous $x,y,z$ tels que $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$, on a $y=z$).
    La continuité s'établit à part (c'est une propriété locale; pour tout $x\in \R$ il existe $n\in \N$ tel que $x$ est dans l'intérieur de $[-n,n]$ et on applique la continuité de $f_n$ qui coïncide avec $f$ sur cet intervalle).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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