Graphe de $\sin(1/x)$ pas connexe par arcs
Bonjour, j'aimerais comprendre la démo mais il y a plusieurs points sur lesquels je bloque dans mon cours.
Soit $A=\{(x,\sin(1/x)\mid x> 0\}$.
Soit $t_0:=\inf \{t\in [0,1]\mid \gamma_1(t)>0\}$. Par continuité, $\gamma_1(t_0)=0$ (ceci je suis d'accord) et donc $\gamma(t_0)=(0,0)$ (pourquoi?).
Par continuité de $\gamma$ en $t_0$, il existe un $\delta>0$ tel que pour tout $t$ tel que $t_0<t<\delta+t_0\implies \|\gamma(t)\|<\frac{1}{2}$. Notons cette propriété (*).
Ensuite, on dit que par connexité et définition de $t_0$, $\gamma_1(]t_0,t_0+\delta[)=]0,\beta[$ pour un $\beta>0$ mais je ne vois pas du tout pourquoi. Par exemple l'image d'un intervalle fermé peut très bien être un intervalle ouvert...
On conclut ensuite en disant qu'il existe $x_n\to 0$ tel que $\sin(1/x_n)=1$, donc en particulier qu'il existe un $n$ tel que $x_n\in ]0,\beta[$ ce qui contredit (*).
Merci pour votre aide.
Soit $A=\{(x,\sin(1/x)\mid x> 0\}$.
- $A$ est connexe : ok
- $\bar A=A\sqcup \{0\}\times [-1,1]$ : ok
Soit $t_0:=\inf \{t\in [0,1]\mid \gamma_1(t)>0\}$. Par continuité, $\gamma_1(t_0)=0$ (ceci je suis d'accord) et donc $\gamma(t_0)=(0,0)$ (pourquoi?).
Par continuité de $\gamma$ en $t_0$, il existe un $\delta>0$ tel que pour tout $t$ tel que $t_0<t<\delta+t_0\implies \|\gamma(t)\|<\frac{1}{2}$. Notons cette propriété (*).
Ensuite, on dit que par connexité et définition de $t_0$, $\gamma_1(]t_0,t_0+\delta[)=]0,\beta[$ pour un $\beta>0$ mais je ne vois pas du tout pourquoi. Par exemple l'image d'un intervalle fermé peut très bien être un intervalle ouvert...
On conclut ensuite en disant qu'il existe $x_n\to 0$ tel que $\sin(1/x_n)=1$, donc en particulier qu'il existe un $n$ tel que $x_n\in ]0,\beta[$ ce qui contredit (*).
Merci pour votre aide.
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Réponses
Si $\gamma_2(t_0)\neq 0$ alors par continuité il existerait $\delta>0$ tel que $\forall t\in [t_0, t_0+\delta],\gamma_2(t)\neq 0$. Or $\gamma_1([t_0, t_0+\delta])$ est un intervalle, donc il existe $t_1>0$ tel que $\gamma_1([t_0, t_0+\delta])=[0,t_1]$ ce qui est absurde car dans ce cas il existerait un entier $k>0$ tel que $\dfrac{1}{k\pi}\in [0,t_1]$ et donc il existe un $t\in [t_0, t_0+\delta]$ tel que $\gamma_1(t)=\dfrac{1}{k\pi}$ et par suite $\gamma_2(t)=\sin(\dfrac{1}{\gamma_1(t)})=\sin(k\pi)=0$.
Bref, c'est ignoble...
Effectivement, sachant que l'image d'un ouvert par une application continue n'est pas forcément ouverte, on dirait une coquille (mais peut-être qu'un truc m'échappe). Mais ce n'est pas grave car le fait que l'intervalle soit ouvert n'est pas important.
On peut utiliser le même argument en disant que $\gamma_1([t_0,t_0+\delta])$ est un intervalle (car l'image d'un connexe par une application continue, est connexe et les intervalle sont exactement les connexes de $\R$). De plus $[t_0,t_0+\delta]$ est compact donc $\gamma_1([t_0,t_0+\delta])$ aussi.
En conclusion $\gamma_1([t_0,t_0+\delta])$ est un intervalle fermé borné. Il existe donc $\beta>0$ tel que $\gamma_1([t_0,t_0+\delta])=[0,\beta]$ (remarque que $\beta$ ne peut pas être nul car ceci contredirait la définition de $t_0$).
Le dernier argument de ta preuve reste valide même avec l'intervalle fermé.