Sur les espaces métriques et les compacts
Bonsoir, j'ai commencé à lire un livre sur la topologie et j'aimerais avoir des éclaircissements sur des points qui vont sembler être évidents pour vous.
Si on se donne un espace métrique $E$ muni d'une distance $d$.
Je considère un point $x$ de $E$, la définition d'une boule de rayon $r>0$ est : $B(x,r)=\{y \in E\mid d(x,y)<r \}$.
Si je considère la droite achevée, peut-on parler d'une boule de centre $\infty$ ? Je crois que non car cela ne colle pas avec la définition.
Concernant les compacts, je n'ai pas compris totalement la notion de valeur d'adhérence, je m'explique.
Si nous sommes sur la droite achevée, je pense que $\infty$ peut-être une valeur d'adhérence d'une suite d'éléments de notre espace.
Mais dans l'une des preuves que j'ai regardé, quelque chose bloque dans mon esprit.
On demande de montrer qu'un espace compact est borné. Mais je ne suis pas trop d'accord avec la dernière partie de la preuve car si nous sommes dans le cas où l'espace est la droite achevée (qui est compacte d'ailleurs), pouvons-nous dire que parce qu'une suite qui tend vers l'infini dans cet espace diverge ? Je crois qu'il y a une subtilité sur lorsqu'on se met dans cet espace qui me gène car je considère $\infty$ comme un point uniquement.
Merci d'avance pour votre compréhension.
Si on se donne un espace métrique $E$ muni d'une distance $d$.
Je considère un point $x$ de $E$, la définition d'une boule de rayon $r>0$ est : $B(x,r)=\{y \in E\mid d(x,y)<r \}$.
Si je considère la droite achevée, peut-on parler d'une boule de centre $\infty$ ? Je crois que non car cela ne colle pas avec la définition.
Concernant les compacts, je n'ai pas compris totalement la notion de valeur d'adhérence, je m'explique.
Si nous sommes sur la droite achevée, je pense que $\infty$ peut-être une valeur d'adhérence d'une suite d'éléments de notre espace.
Mais dans l'une des preuves que j'ai regardé, quelque chose bloque dans mon esprit.
On demande de montrer qu'un espace compact est borné. Mais je ne suis pas trop d'accord avec la dernière partie de la preuve car si nous sommes dans le cas où l'espace est la droite achevée (qui est compacte d'ailleurs), pouvons-nous dire que parce qu'une suite qui tend vers l'infini dans cet espace diverge ? Je crois qu'il y a une subtilité sur lorsqu'on se met dans cet espace qui me gène car je considère $\infty$ comme un point uniquement.
Merci d'avance pour votre compréhension.
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Réponses
Certaines des propriétés que tu mentionnes ne sont valables que dans un espace métrique et pas dans un espace topologique.
Par exemple, l’ensemble $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle est un espace métrique. Si tu lui adjoins un point à l’infini en utilisant la construction classique, tu obtiens un espace topologique $X$ (dans lequel la notion de bornée n’a pas de sens). De plus, la métrique usuelle de $\mathbb{R}$ ne s’étend pas à cet espace $X$.
Pour parler de "boule" tu dois disposer d'une distance, autrement ça n'a pas de sens. Sur la droite achevée on peut définir des distances "intéressantes" et donc on pourra parler de boules de centre $+\infty$.
Par exemple tu peux vérifier que $d:\overline{\R}\times \overline{\R}\to \R^{+}, (x,y)\mapsto |\arctan(y)-\arctan(x)|$ est une distance sur $\overline{\R}$ et que munie de cette distance, la droite achevée est un espace métrique compact donc borné.
Oui par exemple avec la distance définie ci-dessus tu peux vérifier que la suite $1,2,3,...$ converge vers $+\infty$ (qui est bien un élément de ton espace).
Tu peux vérifier aussi que la distance (celle définie précédemment) entre $-\infty$ et $+\infty$ est $\pi$ et deux éléments quelconques ne peuvent pas être plus éloignés que ça, ce qui prouve que ton espace est bien borné.