Sur les isométries d'espace vectoriel euclidien

Bonjour
Lisant la preuve du théorème suivant, je reste bloqué sur l'utilité de l'information en gras.

Théorème : soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel euclidien de dimension $n$. Toute isométrie de $E$ peut s'écrire comme composée de p réflexions pour un entier $p \leq n$.

La preuve se fait par récurrence sur la dimension $n$ de $E$.

Pour $n = 1$, $E$ est une droite vectorielle. Ainsi, une isométrie sur $E$ est de la forme $x \mapsto \lambda x$, avec $| \lambda | =1$. D'où, une telle isométrie est ou bien $Id$, ou bien $- Id$, qui sont deux réflexions.

Supposons que l'hypothèse de récurrence est vraie pour un entier naturel $n-1$ et soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$. Soit $f$ une isométrie de E.
Soient $x_0 \in E\setminus\{0\} $ un élément restant fixe par $f$  et  l'hyperplan $S:={x_0}^{\perp}$. Comme $f$ préserve le produit scalaire et fixe $x_0$, f préserve S. Considérons donc la restriction $f'=f_{|S}$ de $f$ à $S$, c'est une isométrie de $S$, qui est de dimension $n-1$. On peut appliquer l'hypothèse de récurrence, qui nous dit qu'il existe $q$ hyperplans $H_1,\ldots ,H_q$ de $S$ (avec $q \leq n-1$) tels que 
\[
f'=s_{H_1} \circ \cdots \circ s_{H_q}
\] Ainsi, soit $H'_i$ l'hyperplan de $E$ engendré par $H_i$ et $x_0$. On a alors
\[
f=s_{H'_1} \circ \cdots \circ s_{H'_q}
\] En effet, sachant que $E= S \oplus <x_0>$, $s_{H_1} \circ \cdots \circ s_{H_q}( \lambda x_0)= \lambda x_0 = f( \lambda x_0)$ et $ s_{H'_1} \circ \cdots \circ s_{H'_q}(y)= s_{H_1} \circ \cdots \circ s_{H_q}(y)=f'(y)=f(y) $ si $y \in S$.
Ainsi, pourquoi est-il nécessaire de préciser que $f$ préserve $S$ ?
Bien cordialement.