Matrice diviseur de 0

PetiteTaupe
PetiteTaupe
Modifié (November 2021) dans Algèbre
Bonjour, cette question est toute bête mais si on a une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ qui vérifie $$\forall X \in \mathcal{M}_{n,1}(\R), AX = 0_{\mathcal{M}_{n,1}(\R)}$$ Comment en déduire que $A$ est la matrice nulle de $\mathcal{M}_n(\R)$ ? En effet il y a des diviseurs de 0 dans cet ensemble. Comment prouver qu’une matrice qui est diviseur de 0 pour tout élément (qui n’est ici pas une matrice du même ensemble car $X$ est de taille différente) est en fait la matrice nulle ?

J’avais une idée : pour tout $X$, on multiplie à droite par la matrice ligne qui donne la matrice de taille 1x1 (le réel donc) égale à 1. Pour $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$, on multiplie par $\begin{pmatrix} 1/x_1 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}$.

Merci d’avance  

Réponses

  • OShine
    OShine
    Modifié (November 2021)
    Salut.

    $AX = \begin{pmatrix} \displaystyle\sum_{k=1}^n a_{1k} x_k \\ \vdots \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n a_{nk} x_k  \end{pmatrix}$

    Donc $\boxed{\forall i \in [|1,n|] \ \ \displaystyle\sum_{k=1}^n a_{ik} x_k =0}$

    Il ne reste plus qu'à choisir $X$.
  • PetiteTaupe
    PetiteTaupe
    Ah oui tout simplement, merci.
  • raoul.S
    raoul.S
    Si pour $X$ tu prends les vecteurs de la base canonique, ça aide quand même...
  • PetiteTaupe
    PetiteTaupe
    Oui car c’est une famille libre donc on a directement le résultat. Merci.
  • OShine
    OShine
    Raoul.S tout à fait  B)
  • bisam
    bisam
    Pour tout entier $k$ entre $1$ et $n$, le produit de $A$ par le $k$-ème vecteur de la base canonique de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ est égal à la $k$-ème colonne de la matrice $A$.
    Cela répond à la question.

    On peut aussi faire une réponse plus algébriste en interprétant l'égalité donnée en terme d'application linéaire.
    L'application $f:X\mapsto AX$ de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ dans lui-même est une application linéaire, et l'hypothèse fait que cette application est l'application nulle.
    La matrice de cette application linéaire dans la base canonique de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ est précisément égale à $A$. CQFD.
  • OShine
    OShine
    Petite Taupe, pas besoin de liberté.

    Si $X=(1,0, \cdots, 0)$ alors $a_{i1}=0$ pour tout $i$. Si $X=(0,1, \cdots, 0)$ alors $a_{i2}=0$ etc...

    Bisam, merci intéressant comme démarche. 

  • PetiteTaupe
    PetiteTaupe
    Modifié (November 2021)
    Ah oui pardon. Je pensais à une base quelconque $B = (b_1, \dots, b_n)$ : les vecteurs sont libres et alors $X = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}$ donne un système du type $\sum_{i=0}^n a_{jk}b_k = 0$. Par définition de famille libre, les $a_{jk}$ sont nuls.
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