Réduction
Bonjour,
cet exercice me pose bien des problèmes pour démarrer :
soit $A\in M_2(\mathbb{Z})$ de déterminant égal à 1. On suppose qu'il existe un entier naturel non nul $n$ tel que $A^n=I_2$. Montrer qu'il existe un entier $p$ compris entre 1 et 6 tel que $A^p=I_2$.
Un coup de pouce pour démarrer ? Merci pour votre aide !
cet exercice me pose bien des problèmes pour démarrer :
soit $A\in M_2(\mathbb{Z})$ de déterminant égal à 1. On suppose qu'il existe un entier naturel non nul $n$ tel que $A^n=I_2$. Montrer qu'il existe un entier $p$ compris entre 1 et 6 tel que $A^p=I_2$.
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Réponses
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Quelles peuvent-être les valeurs propres de $A$ ?
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Bonsoir, je regarderais un polynôme annulateur de $A$ et on sait que le déterminant est le produit des valeurs propres.
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On peut raisonner par rapport à $\mathrm{Tr}(A)$ et on trouve même que $p\in\{1,2,3,4,6\}$.
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Qu’en est-il si on travaille avec $M_q(\Z)$ avec $q \geq 3$.
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@etanche : Le polynôme minimal est produit de polynômes cyclotomiques...$A=\begin{pmatrix}0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}$ est d'ordre $8$.
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