Les relations précédentes semblent impliquer (du moins si tous se composent sans problème) que :
\[\forall x\in\mathbb{R}, \quad g(x+1) = 2 g(x)\quad\text{et} \quad \forall x>0,\quad f(2x) = f(x) + 1.\] Cela incite à considérer $g:x\mapsto a 2^x$ et $f:x\mapsto \ln_2(bx)$ où $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}_+^\ast$. Après vérifications, ces deux fonctions fournissent une solution si et seulement si $ab=2$.
Réponses
Cela incite à considérer $g:x\mapsto a 2^x$ et $f:x\mapsto \ln_2(bx)$ où $a\in\mathbb{R}$ et $b\in\mathbb{R}_+^\ast$. Après vérifications, ces deux fonctions fournissent une solution si et seulement si $ab=2$.
Édit : Mon message a croisé celui de Chaurien.