Y a-t-il trop d'hyperplans fermés dans un Banach ?

Garbaya · November 2021

Je partage avec vous une question qui me parait intéressante

:
Que peut-on dire de la dénombrabilité de l'ensemble des hyperplans fermés dans un Banach ?

MrJ · November 2021

Les hyperplans fermés d’un espace de Banach $E$ sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles continues sur $E$. Comme deux formes linéaires colinéaires non nulles ont le même noyau, on en déduit que l’ensemble des hyperplans fermés de $E$ est en bijection avec la sphère unité du dual topologique $E’$ quotienté par $\pm1$. On en déduit que si $E$ n’est pas contenu dans une droite vectorielle, les hyperplans fermés de $E$ forment un ensemble indénombrable.

marco · November 2021

Si l'espace de Banach $E$ a au moins deux hyperplans fermés $H$ et $H'$, alors on considère $\phi$ une forme linéaire continue non nulle qui s'annule sur $H$, $\phi'$ de même sur $H'$. Alors $H_{\lambda}=\ker (\phi+ \lambda \phi')$ est un hyperplan fermé. Et $H_{\lambda}\neq H_{\mu}$ si $\lambda \neq \mu$. $(H_{\lambda})_{\lambda \in \R}$ est donc une famille d'hyperplans fermés, qui a la puissance du continu.

Garbaya · November 2021

MrJ a dit :

Les hyperplans fermés d’un espace de Banach $E$ sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles continues sur $E$. Comme deux formes linéaires colinéaires non nulles ont le même noyau, on en déduit que l’ensemble des hyperplans fermés de $E$ est en bijection avec la sphère unité du dual topologique $E’$ quotienté par $\pm1$. On en déduit que si $E$ n’est pas contenu dans une droite vectorielle, les hyperplans fermés de $E$ forment un ensemble indénombrable.

Pouvez-vous expliquer davantage la dernière affirmation ?
Si E n'est pas contenu dans une droite vectorielle alors il contient 2 vecteurs linéairement indépendants avec lesquels on peut construire 2 droites du dual algébrique. Ces droites ne sont pas nécessairement dans $E’$, n'est-ce-pas ? (la sphère risque d'être finie)

MrJ · November 2021

J’ai utilisé implicitement le résultat que $E’$ est plus « gros » que $E$ dans le sens où s’il existe une famille libre dans $E$ indexée par un ensemble $I$, alors on peut en construire une dans $E’$ indexée par le même ensemble $I$ (il faut utiliser le lemme de Zorn).

De toute manière, la preuve de marco est plus simple que la mienne. Il me semble qu’en toute généralité, l’existence d’un hyperplan fermé dans un espace de Banach est assurée par le lemme de Zorn (je ne crois pas que l’on puisse s'en passer).

Garbaya · November 2021

Voilà comme ça c'est plus clair MrJ. Comme vous voyez, j'ai conçu l'exercice pour un Banach puisque ma preuve en a besoin. Mais les vôtres m'inspirent une généralisation. Je vous dirai comment.

En ce qui concerne ma preuve : ($\dim E>1$).

En supposant par l'absurde que $HF$, l'ensemble des hyperplans fermés, est au plus dénombrable la réunion $H$ de tous ses éléments est alors une union au plus dénombrable de fermés d'intérieurs vides. Elle est donc d'intérieur vide d'après le lemme de Baire ($E$ est un Banach). Reste à montrer que $E=H$ pour trouver l'absurdité. Or pour chaque $x$ dans $E$ on peut construire une forme linéaire $f$ sur $Vect(x,y)$ continue, où $y$ est un vecteur tel que $(x,y)$ est libre. $f$ prendra les valeurs 0 en $x$ et 1 en $y$. Le théorème de Hahn Banach permet enfin de la prolonger en une forme linéaire $f'$ sur $E$ qui soit continue. On a pu ainsi trouver un élément, $\ker f'$, de $HF$ contenant $x $. D'où l'égalité souhaitée et par suite le résultat.

Je pense qu'une généralisation (sans complétude) est claire maintenant.

Foys · November 2021

Une autre façon de le voir est d'employer le théorème de Baire.
Supposons $E$ de dimension au moins $2$ (sinon l'ensemble des hyperplans de $E$ est réduit à $\{\{0\}\}$).
Soit $x\in E$. Alors $x$ est contenu dans au moins un hyperplan fermé (soit $y\notin \R x$; on construit une forme linéaire sur $Vect(x,y)$ valant $0$ en $x$ et $1$ en $y$ et on la prolonge à $E$ tout entier par Hahn-Banach). Ainsi $E$ est la réunion d'hyperplans fermés, tous d'intérieur vide (le seul sous-espace vectoriel d'intérieur non vide de $E$ est $E$ lui-même) et donc par Baire leur ensemble ne peut être dénombrable.

Y a-t-il trop d'hyperplans fermés dans un Banach ?

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