Sur la conjecture de Chowla en moyenne

Boécien · November 2021

Dans l'article “An averaged form of Chowla's conjecture” (https://msp.org/ant/2015/9-9/p04.xhtml) les auteurs prouvent le résultat suivant où λ est la fonction de Liouville λ(n)=(−1)Ω(n) et k≥2 est fixé

∑h1,h2,...,hk≤H|∑1≤n≤Xλ(n+h1)λ(n+h2)...λ(n+hk)|=o(HkX)

lorsque X→∞ avec H=H(X)≤X qui tend aussi vers ∞.

Si on prend k=2 et H=X cette formule devient

S(X):=∑h1,h2≤X|∑1≤n≤Xλ(n+h1)λ(n+h2)|=o(X3)

En programmant S(X) avec pari-gp que je viens d'installer sur mon PC les résultats numériques semblent contredire le fait que ce soit en o(X3), cela semble plutôt être du O(X3) voire on a S(X)/X3 qui est non borné.

J'ai certainement du faire une erreur d'interprétation de la formule dans l'article. Il doit y avoir une condition de croissance sur H et on ne peut pas prendre H=X.

Voici mon script:

S(X)=sum(h1=0,X,sum(h2=0,X,sum(k=1,X,abs(sum(k=1,n,(-1)^bigomega(k+h1)*(-1)^bigomega(k+h2))))))

Boécien · November 2021

Script modifié...Je m'aperçois que le LaTex passe mal

noix de totos · November 2021

Premières remarques :

(i) Tes indices $h_1$ et $h_2$ doivent débuter à $1$ ;

(ii) Plus important, il y a une sommation en trop dans ton script, la somme sur $k$.

Remarques plus techniques :

Le papier que tu cites démontre entre autres l'estimation
$$\sup_{\alpha \in \R} \int_X^{2X} \left| \sum_{x < n \leqslant x+H} \lambda(n) e(-\alpha n) \right| \textrm{d}x = o(HX)$$
où $H \to \infty$ lorsque $X \to \infty$. Cette estimation équivaut à
$$\sum_{|h| \leqslant H} \left| \sum_{n \leqslant X} \lambda(n) \lambda(n+h) \right| = o(HX)$$
où $H \to \infty$ lorsque $X \to \infty$. Cette estimation correspond au cas $s=0$ d'une conjecture d'uniformité locale de Fourier. En 2020, les trois auteurs ont récidivé et étendu cette estimation, en montrant que, si $0 < \theta < 1$, alors
$$ \int_X^{2X} \sup_{\alpha \in \R}\left| \sum_{x < n \leqslant x+X^\theta} \lambda(n) e(-\alpha n) \right| \textrm{d}x = o(X^{1+\theta})$$
ce qui correspond au cas $s=1$ de la conjecture d'uniformité locale de Fourier susmentionnée. Pas d'erreur, donc, dans leurs résultats.