Exponentielle, logarithme complexe

Bonjour, soit $\begin{align*}
f:U_1 &\to U_2 \\
z&\mapsto e^z
\end{align*}$ où $U_1=\{z\mid -\pi<\Im (z)<\pi\}$ et $U_2=\{w\mid \arg w\neq \pi\}$. C'est ainsi que mon cours définit les domaines qui rend l'exponentielle complexe bijective et donc qui admet sa fonction inverse $g:U_2\to U_1$.


Première question (voir 1ère photo): Si je pose cette fois la fonction $\begin{align*}
\exp:\tilde U_1 &\to \tilde U_2 \\
t&\mapsto e^{2\pi it}
\end{align*}$ où $\tilde U_1=]a,a+1[$ pour $a\in \mathbb R$ et $\tilde U_2=\{w\mid \arg w\neq 2\pi a\}$ alors j'ai encore la bijectivité n'est-ce pas? Et donc la possibilité de définir $\ln:\tilde U_2\to \tilde U_1$. Mais ma question est, quel est le lien entre toutes les fonctions logarithmes? Est-ce qu'on a un domaine standard et qu'ensuite pour tous les domaines différents qui rendent l'exponentielle bijective, il suffit de multiplier le logarithme "standard" pour avoir la fonction inverse?

Plus précisément, par exemple dans mon cours est posée la fonction $\frac{\ln}{2\pi i}:\tilde U_2\to \tilde U_1$ mais je ne comprends pas à quoi fait référence cette fonction $\ln$ dans ce cas?

Deuxième question (voir 2ème photo): Je n'ai jamais vu pourquoi cette fonction logarithme est elle aussi continue. J'ai essayé de faire quelque chose dans la deuxième photo.

Supposons qu'on a la fonction $\begin{align*}
f:U_1 &\to U_2 \\
x&\mapsto e^{ix}
\end{align*}$ où $U_1=]-\pi,\pi[$ et $U_2=\{y\mid \arg y\neq \pi\}$ et $g:=f^{-1}$. Je montre que $g$ est continue en tout point: Je prends $y\in U_2$ et $N$ un voisinage de $g(y)$. On "voit" que $g^{-1}(N)$ est toujours un voisinage de $y$. Je ne sais pas si c'est très rigoureux... Merci pour votre aide.