Un problème à l'ancienne de Mathieu Stewart
dans Géométrie
Bonjour à tous,
je propose ce problème de Stewart (1717-1785) disciple de Simson et de MacLaurin, écrit à l'ancienne :
le carré de la droite qui joint les points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère inscrit à un cercle , est égal à la somme des carrés des tangentes menées de ces deux points de concours à la circonférence du cercle.
Sincèrement
Jean-Louis
je propose ce problème de Stewart (1717-1785) disciple de Simson et de MacLaurin, écrit à l'ancienne :
le carré de la droite qui joint les points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère inscrit à un cercle , est égal à la somme des carrés des tangentes menées de ces deux points de concours à la circonférence du cercle.
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
Fais-tu allusion à ce résultat ?
Soit $FEGH$ le quadrilatère inscrit à un cercle, $[AB]$ un segment à l'extérieur du cercle où $A = EF \cap GH$ et $B= FH \cap EG$, $(AC)$ la tangente issue de $A$ au cercle, $(BD)$ la tangente issue de $B$ au cercle.
Montrer que $AB^2 = AC^2 + BD^2.$
Amicalement
oui...
Auriez-vous une référence ?
Sincèrement
Jean-Louis
C'est un simple exercice de la défunte géométrie circulaire.
Si $i_A$ et $i_B$ sont les inversions de pôles $A\ $ et $B\ $ conservant le cercle $\Gamma=(EFGH)\ $, la configuration précédente n'existe que si les deux inversions précédentes commutent ce qui revient à dire que les points $A\ $ et $B\ $ sont conjugués par rapport au cercle $\Gamma$ et ce qui équivaut à la relation demandée!
Amicalement
[small]p[/small]appus
oui, A et B sont conjugués....
A l'ancienne, je rappelle que de La Hire (1640-1718) vivait au siècle précédent...
Aussi, une preuve à la de La Hire a certainement contribué à ce résultat.
Sincèrement
Jean-Louis
Bonsoir à tous,
Propositiones geometricæ,: more veterum demonstratæ, ad geometriam
de Matthew Stewart.
Jean-Louis