Équation

Bonjour,

Ce n'est pas résoluble de façon exacte, mais tu peux tracer la courbe représentative de la fonction définie par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x-1}$ dans Géogébra et observer l'intersection de cette courbe avec une droite horizontale variable.

Cordialement,

Rescassol

1 est la seule solution, une petite étude de fonction suffit (niveau terminale).
Edit: Non je pense que j'ai raconté une bêtise, désolé.

Oui mais il faut beaucoup de précision dans ce sens là lorsque alpha tend vers l'infini. J'obtiens pour alpha=8000 quelque chose comme $4.4070174889890132523921204906995015854685140525679949693775...10^{-3475}$
Tu peux essayer de montrer en gardant mes notations que $r\left(\alpha\right)\sim e^{-\alpha}$ lorsque $\alpha$ tend vers l'infini.

Oui c'est à peu près ça. Après tout il existe une formule asymptotique. Si $\alpha$ tend vers l'infini on a:
$$ r\left(\alpha\right)=\frac{1}{e^{\alpha}}+\frac{\alpha}{e^{2\alpha}}+\frac{3\alpha^{2}}{2e^{3\alpha}}+\frac{8\alpha^{3}}{3e^{4\alpha}}+O\left(\frac{\alpha^{4}}{e^{5\alpha}}\right)$$
et en général sauf erreur:
$$ r(\alpha)=\frac{1}{\alpha}\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{k-2}}{(k-1)!}\left(\frac{\alpha}{e^{\alpha}}\right)^{k}+O\left(\frac{\alpha^{n+1}}{e^{(n+1)\alpha}}\right)$$
car comme RLC l'avait remarqué c'est lié à la fonction de Lambert $W_0$ car $r\left(\alpha\right)=\frac{1}{\alpha}W_{0}\left(-\frac{\alpha}{e^{\alpha}}\right)$.

Oui j'ai noté $r(\alpha)$ l'unique solution de l'équation dans $]0,1[$. Regarde le lien que j'ai donné pour la fonction de Lambert tout devrait s'éclairer pour toi. Mais comme on te l'a déjà dit cette fonction ne s'exprime pas avec des choses connues.
J'ajoute que comme $\frac{\alpha}{e^{\alpha}}<\frac{1}{e}$ pour $\alpha>1$ on a une formule série pour la solution

$$r\left(\alpha\right)=\frac{1}{\alpha}\sum_{n\geq1}\frac{n^{n-2}}{(n-1)!}\left(\frac{\alpha}{e^{\alpha}}\right)^{n}$$