Équation
Réponses
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Que dire si $u=1$, $0<u<1$ et $u>1$?
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$u=1$ est une solution évidente.
Si $0 < u < 1$ alors je ne vois pas quoi dire. On cherche la formule de la solution -
La question n'est sans doute pas de trouver explicitement toutes les solutions mais de les localiser.
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Si on nous dit que u est solution de l’équation alpha (1-u)=\ln(u) telle que 0<u<1.
Cette solution u n’as pas une écriture particulière en fonction de la constante alpha par exemple? -
Non, il doit falloir les fonctions à con comme Lambert.
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Bonjour,
Ce n'est pas résoluble de façon exacte, mais tu peux tracer la courbe représentative de la fonction définie par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x-1}$ dans Géogébra et observer l'intersection de cette courbe avec une droite horizontale variable.
Cordialement,
Rescassol -
Je plussoie RLC, difficile d'imaginer une formule simple. Si on note $r(\alpha)$ la solution non triviale de l'équation se situant dans l'intervalle $]0,1[$ un bon exercice est de déterminer que $\lim_{\alpha\rightarrow1^{+}}r\left(\alpha\right)=1$ voire que lorsque $\alpha$ tend vers $1$ on a $r\left(\alpha\right)\sim 1-2\left(\alpha-1\right)$.
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Cette équation admet au moins une solution comprise entre 0 et 1. Est-ce que vous pouvez me donner une solution $0 < u < 1$ en fonction de $\alpha$? Svp
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Mais est-ce que tu lis les messages ?
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Oui j'ai lu les messages et j'ai compris que ce n'est pas résoluble
mais ma question est-ce qu'il y a une solution apparente u comprise entre 0 et 1 ? Puisqu'il y en a une infinité est-ce qu'il n'y en n'a pas une qui est apparente ? -
Bonjour,
On t'a déjà dit qu'il n'est pas possible de donner une telle solution.
Cordialement,
Rescassol -
1 est la seule solution, une petite étude de fonction suffit (niveau terminale).
Edit: Non je pense que j'ai raconté une bêtise, désolé. -
D'accord.
Est-ce qu'on peut résoudre cette équation numériquement ? Je veux dire est-ce qu'on peut trouver une solution approchée pour l'équation $8000 (\omega -1)= \ln \omega$ ? -
Oui mais il faut beaucoup de précision dans ce sens là lorsque alpha tend vers l'infini. J'obtiens pour alpha=8000 quelque chose comme $4.4070174889890132523921204906995015854685140525679949693775...10^{-3475}$
Tu peux essayer de montrer en gardant mes notations que $r\left(\alpha\right)\sim e^{-\alpha}$ lorsque $\alpha$ tend vers l'infini. -
Boécien tu as trouvé $u= 4.40 \times 10^{-3475}$? C'est bien ça?
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Oui c'est à peu près ça. Après tout il existe une formule asymptotique. Si $\alpha$ tend vers l'infini on a:
$$ r\left(\alpha\right)=\frac{1}{e^{\alpha}}+\frac{\alpha}{e^{2\alpha}}+\frac{3\alpha^{2}}{2e^{3\alpha}}+\frac{8\alpha^{3}}{3e^{4\alpha}}+O\left(\frac{\alpha^{4}}{e^{5\alpha}}\right)$$
et en général sauf erreur:
$$ r(\alpha)=\frac{1}{\alpha}\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{k-2}}{(k-1)!}\left(\frac{\alpha}{e^{\alpha}}\right)^{k}+O\left(\frac{\alpha^{n+1}}{e^{(n+1)\alpha}}\right)$$
car comme RLC l'avait remarqué c'est lié à la fonction de Lambert $W_0$ car $r\left(\alpha\right)=\frac{1}{\alpha}W_{0}\left(-\frac{\alpha}{e^{\alpha}}\right)$. -
Stp Boécien, qu'est-ce que tu notes par $r(\alpha)$ ? C'est la solution $u$ ?
Comment as-tu trouvé cette formule ? Stp -
Oui j'ai noté $r(\alpha)$ l'unique solution de l'équation dans $]0,1[$. Regarde le lien que j'ai donné pour la fonction de Lambert tout devrait s'éclairer pour toi. Mais comme on te l'a déjà dit cette fonction ne s'exprime pas avec des choses connues.
J'ajoute que comme $\frac{\alpha}{e^{\alpha}}<\frac{1}{e}$ pour $\alpha>1$ on a une formule série pour la solution
$$r\left(\alpha\right)=\frac{1}{\alpha}\sum_{n\geq1}\frac{n^{n-2}}{(n-1)!}\left(\frac{\alpha}{e^{\alpha}}\right)^{n}$$ -
Avec petit arrangement des indices
$r\left(\alpha\right)=\frac{1}{\alpha}\sum_{n\geq1}\frac{n^{n-1}}{n!}\left(\frac{\alpha}{e^{\alpha}}\right)^{n}$
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