Dénombrement matrices diagonalisables
Bonjour
J’étudie un exercice qui consiste à dénombrer les matrices diagonalisables dans les corps finis.
À un moment il y a un argument que j’ai du mal à comprendre.
On pose E un Fq espace vectoriel tel que E soit somme directe des q sous-espaces propres d’une matrice M inversible à coefficients dans Fq. Et on dit que E=ME=sum(MEk), je ne comprends pas d’où vient cette égalité …
Ensuite comme dim(MEk)=dim(Ek) on conclut que E est aussi somme directe des MEk
Si quelqu’un peut m’éclairer …
Merci.
Bonne journée.
J’étudie un exercice qui consiste à dénombrer les matrices diagonalisables dans les corps finis.
À un moment il y a un argument que j’ai du mal à comprendre.
On pose E un Fq espace vectoriel tel que E soit somme directe des q sous-espaces propres d’une matrice M inversible à coefficients dans Fq. Et on dit que E=ME=sum(MEk), je ne comprends pas d’où vient cette égalité …
Ensuite comme dim(MEk)=dim(Ek) on conclut que E est aussi somme directe des MEk
Si quelqu’un peut m’éclairer …
Merci.
Bonne journée.
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Réponses
Enfin c'est ce qu'il me semble.
La justification de l'égalité est facile mais il faut la donner -- double inclusion par exemple ? Cela devrait mettre en évidence la finesse ci-dessus.
l'argument doit être bête mais je ne vois vraiment pas
On a E= somme directe des E_k pour k allant de 1 à q
Soit $x \in ME$, alors (comme E somme directe) $x$ s'écrit uniquement $x =M\sum_{k=1}^{q} x_k$ où $x_k \in E_k$ pour tout k. Alors $x=\sum_{k=1}^{q} Mx_k$ donc $x \in \sum_{k=1}^{q} ME_k$.
Réciproqument, soit $y \in \sum_{k=1}^{q} ME_k$. Supposons que $y=\sum_{k=1}^{q} Mx_k=\sum_{k=1}^{q} Mz_k$, avec $x_k, z_k \in E_k$. Alors,$ y=M\sum_{k=1}^{q} x_k=M\sum_{k=1}^{q} z_k \implies \sum_{k=1}^{q} x_k =\sum_{k=1}^{q} z_k \implies x-k=z_k$ pour tout $k$ car les E_k sont en somme directe. donc $y \in ME$
Finalement, $ME= \sum_{k=1}^{q} ME_k.$
merci