Radical et rayon de primalité faible

Bonjour,

Rappelons que le radical d'un nombre entier $n$ est le plus grand entier sans facteur carré $rad(n)$ divisant $n$.
J'appelle rayon de primalité faible de $n$ tout entier positif $w$ tel que $\omega(n-w)=\omega(n+w)=1$ où $\omega$ compte le nombre de facteurs premiers sans tenir compte de la multiplicité.

Considérons la fonction $R_{n}(x)$ donnant le nombre d'entiers n'excédant pas $x$ de même radical que $n$. Peut-on donner un majorant optimal de cette fonction inconditionnellement ou sous l'hypothèse de Riemann voire sa généralisation aux fonctions L de Dirichlet? Peut-on en déduire un majorant du nombre $w_{0}(n):=\inf\{w\geq 0\mid\omega(n-w)=\omega(n+w)=1\}$ ?

Edit : on a $w_{0}(n)\leq r_{0}(n)$ avec $r_{0}(n):=\inf\{r\geq 0\mid (n-r,n+r)\in\mathbb{P}^{2}\}$ sous la conjecture de Goldbach. J'appelle nombre exceptionnel de Galois tout entier $n$ tel que $w_{0}(n)<r_{0}(n)$ et note $Ge(x)$ le nombre de nombres exceptionnels de Galois n'excédant pas $x$. Je serais intéressé par une majoration, inconditionnelle ou non, de $Ge(x)$ en fonction de $x$.

Merci d'avance.