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Recherche paramétrisation deséspérément

Bonsoir,

Soit $(\cal{C})$ la courbe d'équation $(x^2 + y^2)^2 = (3g - 2x)² + 4y^2 $, où $g$ est compris entre $0$ et $1$. Je recherche une paramétrisation, pour l'implanter dans GGB, de la partie de cette courbe incluse dans le cercle unité. Sans doute faut-il considérer deux cas, selon que $g$ est plus petit ou plus grand qu'un tiers, c'est-à-dire selon que cette partie de courbe soit fermée on non.

J'ai déjà tracé la courbe avec GGB, soit comme courbe implicite, soit comme réunion des graphes de deux fonctions, et aussi avec la paramétrisation issue de $x = \cos(t)$. Mais tous ces tracés GGB rencontrent le même problème : un point posé dessus n'évolue jamais comme il le faudrait, c'est-à-dire continûment (il "disparaît" à cause des tangentes verticales pour l'implicite et les fonctions, "saute" à cause des bornes disjointes pour la paramétrisation). Il me faut un déplacement fluide d'un point sur la courbe, en particulier sur la partie incluse dans le cercle unité. Une autre paramétrisation y parviendrait-elle ?

Cette courbe est le lieu des centres $I$ des cercles inscrits des triangles dont le centre de gravité $G$ (d'abscisse $g$) est fixé sur leur droite d'Euler commune $x=0$, le cercle trigonométrique étant leur cercle circonscrit.

Sachez que cinq bidouillages ggb ont déjà échoués, mieux vaut chercher ailleurs. Une "bonne" paramétrisation donc.

Réponses

  • Bonjour,

    As-tu essayé ${3 g-2 x\over x^2+y^2}=\cos t$ et ${2y\over x^2+y^2}=\sin t$ ?

    Et $2 y=(3 g-2 x) t$ ?
  • Cela marche parfaitement ! Merci beaucoup YvesM. On obtient comme paramétrisation, pour la partie de la courbe incluse dans le cercle unité :
    $x=\frac{1}{2} \; \left(-2 \; \operatorname{cos} \left( t \right) + 3 \; g \; \operatorname{sin} ^{2}\left( t \right) + \operatorname{cos} \left( t \right) \; \sqrt{12 \; g \; \operatorname{cos} \left( t \right) - 9 \; g^{2} \; \operatorname{sin} ^{2}\left( t \right) + 4} \right)$
    et $y=\frac{1}{2} \; \left(2 \; \operatorname{sin} \left( t \right) - \operatorname{sin} \left( t \right) \; \sqrt{12 \; g \; \operatorname{cos} \left( t \right) - 9 \; g^{2} \; \operatorname{sin} ^{2}\left( t \right) + 4} + 3 \; g \; \operatorname{cos} \left( t \right) \; \operatorname{sin} \left( t \right) \right)$.
    Le mouvement du point sur cette courbe est alors on ne peut plus fluide. C'est extra, je peux continuer ma figure :-).
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