Dénombrement matrices diagonalisables

Pouvez-vous me dire si cet argument est correct s'il vous plait :

On a E= somme directe des E_k pour k allant de 1 à q

Soit $x \in ME$, alors (comme E somme directe) $x$ s'écrit uniquement $x =M\sum_{k=1}^{q} x_k$ où $x_k \in E_k$ pour tout k. Alors $x=\sum_{k=1}^{q} Mx_k$ donc $x \in \sum_{k=1}^{q} ME_k$.
Réciproqument, soit $y \in \sum_{k=1}^{q} ME_k$. Supposons que $y=\sum_{k=1}^{q} Mx_k=\sum_{k=1}^{q} Mz_k$, avec $x_k, z_k \in E_k$. Alors,$ y=M\sum_{k=1}^{q} x_k=M\sum_{k=1}^{q} z_k \implies \sum_{k=1}^{q} x_k =\sum_{k=1}^{q} z_k \implies x-k=z_k$ pour tout $k$ car les E_k sont en somme directe. donc $y \in ME$

Finalement, $ME= \sum_{k=1}^{q} ME_k.$




merci