Chemins connexité par arcs
Bonsoir,
Dans l'exemple c'est où qu'on utilise que la partie $A$ est convexe ? Comment démontrer que l'application $t \mapsto (1-t)x+t y$ est continue ?
J'essaie de répondre à ces deux questions, je ne suis pas sûr.
Posons $f(y)=(1-t)x+ty$. On a $||f(t')-f(t)||=|| x - t' x+ t'y -ty +tx-x||= || x(t-t') + y(t'-t)|| =|| (t-t') (x-y) || \leq |t-t'| \times ||x-y ||$
Donc $f$ est lipschitzienne de rapport $||x-y||$ elle est continue.
La convexité de $A$ donne que $\forall t \in [0,1] \ f(t) \in A$ donc $f$ est bien définie.
Pour l'exercice 8, je ne vois pas comment faire pour chercher la réponse.
Je sais juste qu'on doit trouver une application continue qui vérifie $\tilde{p} (c)=x$ et $\tilde{p} (d)=y$ mais je ne vois pas comment la trouver.
Dans l'exemple c'est où qu'on utilise que la partie $A$ est convexe ? Comment démontrer que l'application $t \mapsto (1-t)x+t y$ est continue ?
J'essaie de répondre à ces deux questions, je ne suis pas sûr.
Posons $f(y)=(1-t)x+ty$. On a $||f(t')-f(t)||=|| x - t' x+ t'y -ty +tx-x||= || x(t-t') + y(t'-t)|| =|| (t-t') (x-y) || \leq |t-t'| \times ||x-y ||$
Donc $f$ est lipschitzienne de rapport $||x-y||$ elle est continue.
La convexité de $A$ donne que $\forall t \in [0,1] \ f(t) \in A$ donc $f$ est bien définie.
Pour l'exercice 8, je ne vois pas comment faire pour chercher la réponse.
Je sais juste qu'on doit trouver une application continue qui vérifie $\tilde{p} (c)=x$ et $\tilde{p} (d)=y$ mais je ne vois pas comment la trouver.
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Réponses
- Cette application est une fonction polynomiale en $t$...
- Essayez d'envoyer $[c,d]$ sur $[a,b]$ par une fonction "simple".
Analyse posons $f(y)=(1-t) x + t y$ admettons f est une fonction de y , y est un vecteur.
Ensuite ligne du dessous $f(t)-f(t')$ .... blabla.. $t$ et $t'$ ne sont pas des vecteurs mais des réels.
big problem ou erreur de typo? .
2.
Si on fait ce que tu dis:
Posons $\tilde p(t)=\frac{t-d}{c-d} x +\frac{t-c}{d-c } y $ et ensuite.....?
Et c'est bien dans le cours de L1 sur la continuité.
Je n'ai pas encore vu la propriété que les fonctions polynomiales sont continues mais je note merci.
L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.
La fonction simple peut être de la forme $u(t)= \alpha t+ \beta$. On veut qu'elle envoie $[c,d]$ sur $[a,b]$
On veut $u(c)=a$ et $u(d)=b$
C'est un système 2x2 facile à résoudre, on trouve $\alpha= \dfrac{a-b}{c-d}$ et donc $\beta=a- \dfrac{a-b}{c-d} c$
Ainsi $u(t)=\dfrac{a-b}{c-d} t+ a - \dfrac{a-b}{c-d} c$ et $u$ est continue (fonction polynomiale en $t$).
Finalement $\boxed{u(t)= \dfrac{a-b}{c-d} \left( t-c \right) +a}$
Ainsi, $\boxed{\tilde{p} (t)= p (\dfrac{a-b}{c-d} \left( t-c ) +a \right)} $
On vérifie $\tilde{p} (c)=p(a)$ et $\tilde{p} (d)=p(b)$
Si @Os n'a pas recopié sa petite démo quelque part, disons qu'il a raison de faire comme ça
( bien qu'on puisse remarquer que c'est polynomial et point barre..)
Ce qui m'intéresse c'est la deuxième partie....
$f$ est définie sur une partie de $\R$ et à valeurs dans un espace vectoriel normé.
JLapin d'accord merci la caractérisation séquentielle résout la question en 1 ligne.
Je peux aller dormir tranquille, j'ai trouvé la même chose que dans le livre. (le corrigé donnait juste l'application sans rien expliquer)
Comme d'ailleurs pour la deuxième partie "je sais juste...bla...bla " je suis certain aussi que tu ne vois pas le sens de ma remarque qui cherche à te faire voir que ce tu écris n'est pas correct.
Alors tant pis. Mon film est fini et je vais me coucher!
K.
La fonction $\tilde{p}$ en fonction de $x$ et $y$ que tu mets plus haut m'a l'air ok je ne vois pas le problème :-S Il y a une subtilité que je ne vois pas.
Kolakoski
Je crois qu'il y a un détail qui m'échappe. Je ne comprends pas pourquoi on doit montrer que $\tilde{p} ([c,d])=p([a,b])$
D'après la définition du cours, il suffit de vérifier que $\tilde{p}$ est continue, qu'elle est à valeurs dans $A$ et que $\tilde{p}(c)=x=p(a)$ et $\tilde{p}(d)=y=p(b)$
Il faut comprendre ce que signifie cet exercice : si, par exemple, je paramètre le cercle unité par $[0,2\pi[\ni t \mapsto (\cos(t),\sin(t))$, je peux également le paramétrer par $[0,\pi[\ni t \mapsto (\cos(2t),\sin(2t))$... Dans les deux cas, c'est le cercle unité, mais formellement, ce n'est pas le même paramétrage. J'espère que ça n'a pas rendu le reste trop confus !
L'exemple que je donne est inspiré par ton manque de rigueur dans ce que tu as écrit plus haut. Dans ton premier message " je sais juste qu'il faut ....."
Dès le départ tu donnes le ton. Ce que tu as écrit est faux. Une définition ce n'est pas de l'à-peu-près. L'exemple que je donne respecte ta (pseudo-)définition mais ne respecte pas la définition.
A toi de faire le travail. Fais le travail sérieusement et tu verras pourquoi mon exemple est faux.
Kolakosky on a $\tilde{p} (t)= p \circ u(t)$ où $u(t)=\dfrac{a-b}{c-d} (t-c)+a$
$u$ est une application définie de $\R$ dans $\R$ et continue sur $[c,d]$; d'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle prend toutes les valeurs entre $u(c)=a$ et $u(d)=b$.
Ainsi $\boxed{\tilde{p} [c,d] = p( [a,b])}$
Oui donc je te fais la même : $\cos$ est continue sur $[0,2\pi]$ avec $\cos(0)=\cos(2\pi)=1$ donc par conséquent, par le théorème des valeurs intermédiaires, $\cos([0,2\pi])=\{1\}$.
C'est quand que tu bosses tes cours de lycée, sérieux ? Y'en a marre franchement. Il ne manque sûrement qu'un seul mot pour que ce que tu dises soit correct mais ça change tout et ça montre que soit tu recopies des trucs sans rien piger (en recopiant mal en plus).
Soit $f : I \longrightarrow \R$ une fonction continue et $(a,b) \in I^2$.
Alors toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$ sont atteintes par $f$.
Montrons que $u( [c,d])= [a,b]$ où $u(t)=\dfrac{b-a}{d-c} (t-c)+a$
On a $u(c)=a$ et $u(d)=b$ donc toutes les valeurs entre $a$ et $b$ sont atteintes par $f$. Ainsi $ \boxed{[a,b] \subset u( [c,d] )}$
Montrons que $u([c,d]) \subset [a,b]$.
Soit $c \leq t \leq d$ alors $0 \leq t-c \leq d-c$ et $0 \leq (t-c) \dfrac{b-a}{d-c} \leq b-a$ et enfin $a \leq u(t) \leq b$
Par double inclusion, on a montré que $\boxed{[a,b] = u( [c,d] )}$
Relis tout de même ce qu'on te dit. Je répète, ma réponse applique la dernière ligne de ton premier message.
Et j'ai dit que cette ligne n'est pas correcte.
Vraiment tu ne comprends pas quand on veut t'aider. Relis cette ligne et corrige la.