Caractérisation des classes de similitude

Badrino
Badrino
dans Algèbre
Bonsoir,
Je bloque dans cette exercice.

Montrer que si A est nilpotente, A et B sont semblable ssi rg(Ak) =rg(Bk) pour tout k entier.

Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    L'implication gauche-droite est évidente, vois-tu pourquoi ?

    Pour droite-gauche, commence par montrer que $B$ est également nilpotente. Ensuite, connais-tu la réduction de Jordan ?
  • Badrino
    Badrino
    Poirot:
    Oui je connais la réduction de Jordan. Le problème c'est que je n'arrive pas à montrer que B est nilpotente.
  • Badrino
    Badrino
    Poirot:
    Si rg(Ak) =rg(Bk), alors pour k supérieur à l'indice de nilpotente on aura rg(Bk) =0 cad Bk=0, donc B est nilpotente de même indice que A.
  • Poirot
    Poirot
    Tout à fait. Maintenant il s'agit de savoir caractériser la taille des blocs de Jordan d'une matrice nilpotente.
  • Badrino
    Badrino
    Poirot:
    Je ne vois pas comment le faire.
  • JLapin
    JLapin
    C'est technique...
    Une façon de faire est d'examiner ta preuve de Jordan et de s'apercevoir que la dimension des différents blocs de Jordan est caractérisée par la suite des rangs des itérées.
  • Badrino
    Badrino
    JLapin:
    La preuve de mon cours est par récurrence, les itérés n'interviennent pas.
  • MrJ
    MrJ
    Je te suggère de comprendre le lien entre le nombre $rang(A^k)-rang(A^{k+1})$ et le nombre de blocs de Jordan d’une certaine taille.
    Tu devrais essayer sur des exemples pour commencer.
  • Badrino
    Badrino
    MrJ:
    C'est le nombre de bloc de taille supérieure à k.Je n'arrive pas à voir quel est le lien entre la taille d'un bloc et le nombre de bloc d'un certaine taille.
  • Math Coss
    Math Coss
    Le nombre de blocs de taille $k$ est la différence du nombre de blocs de taille $\ge k$ et de...
  • Badrino
    Badrino
    Math Coss:
    Le nombre de blocs de taille <k.
  • Math Coss
    Math Coss
    Ou, mieux dit, $\le k-1$. D'où le lien entre ceci et cela.
  • Badrino
    Badrino
    Math Coss:
    J'ai compris votre remarque. Mais je n'arrive pas à faire le lien avec ma question de départ.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Renseigne-toi sur l’usage des tableaux de Young dans ce cas précis.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Math Coss
    Math Coss
    Ma réponse était hors sujet. Il faut en effet voir le lien entre un diagramme de Young ou partition et la partition dite transposée.
  • JLapin
    JLapin
    Comment démarre ta preuve par récurrence de Jordan ?
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