Variation de l'aire d'un rectangle
Bonjour,
Je suis confronté au problème suivant, je cherche les positions du point M qui rendent l'aire de MNPQ maximale et minimal.
J'ai eu l'intuition d'écrire que l'aire de MNPQ est: MNxNP et exprimer MN et NP en appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles MNB (rectangle en
et NPC (rectangle en C) puis de faire apparaître une inconnue x qui serait égale à BN et CP mais ça n'a pas marché.
Quelqu'un voit une autre méthode svp?
Cordialement, Lorentz.
Je suis confronté au problème suivant, je cherche les positions du point M qui rendent l'aire de MNPQ maximale et minimal.
J'ai eu l'intuition d'écrire que l'aire de MNPQ est: MNxNP et exprimer MN et NP en appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles MNB (rectangle en
et NPC (rectangle en C) puis de faire apparaître une inconnue x qui serait égale à BN et CP mais ça n'a pas marché.Quelqu'un voit une autre méthode svp?
Cordialement, Lorentz.
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
La première idée est de noter $a$ et $b$ les côtés du rectangle $ABCD$, avec $0<a \le b$, de prendre $x$ comme variable et d’étudier l'aire et le périmètre du parallélogramme $MNPQ$ comme fonctions de $x$.
Il y a peut-être d'autres méthodes sans « calculus », il faut voir.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
C'était bien ça ton idée?
Ici c'est logique de vérifier que le polynôme ne s'annule pas dans cet intervalle. Mais ailleurs... bof
Il serait plus logique de vérifier ton calcul avec x=0 ou x=6.
Après si j'ai trouvé c'est l'essentiel
C'est le verbe suivre, non le verbe suivier.
Le 1/2 périmètre c'est MQ+QP que tu exprimes en fonction de x (grâce à Pythagore).
Contraire à l'aire, tu obtiens une somme de 2 racines de polynômes du second degré. Ici, je vois mal comment on peut éviter le calcul avec la dérivée.
Il faut alors dériver et chercher quand cette dérivée s'annule. Ce n'est pas trop compliqué mais il faut bien s'y prendre.
Je ne suis pas sûr de comprendre
On pourrait savoir pour quelles raisons ces discriminants négatifs t’étonnent et en quoi ces discriminants seraient utiles?
Comme il est facile de se convaincre que les cas où on prend pour x les demi-longueur et demi-largeur donnent les mêmes valeurs, c'est que le minimum est atteint au milieu de ces valeurs, soit 3,5.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2326396,2326538#msg-2326538
En disant ajouter les racines (je pensais aux racines carrées)
Le $1/2$ périmètre $=\sqrt{p1(x)}+1/\sqrt{p2(x)}$ car $p_1(x)$ et $p2(x)$ sont les carrés des longueurs des côtés.
Par ailleurs s'il fallait ajouter les racines des polynômes, je me poserai la question pourquoi?
On pourrait savoir si ce n'est pas trop indiscret pour quelle raison tu souhaites te confronter à ce problème car visiblement tu n'es plus du tout lycéen (il y a trois ans tu discutais de sujets largement au dessus du niveau bac) et c'est pour cela que je m'étais permis ma dernière remarque (combien de fois des lycéens sautent comme un cabri avec ce "discriminant!" dès qu'il voit un x^2 traîner quelque part:-D sans chercher plus loin).
Si cet exercice est destiné à des élèves du secondaire c'est encore trop flou, un élève de première peut utiliser la dérivée, pas un élève de seconde, même si comme le dit Chaurien on peut utiliser la forme canonique pour le sens de variation d'un polynôme du second degrés dès la seconde (en réalité la majorité des élèves de seconde est incapable d'utiliser cette méthode si il n'y a pas d'aide).
J'ai indiqué à plusieurs reprises que dans l'étude du trinôme du second degré, il faut marquer l'importance du calcul de la forme canonique, aussi indispensable que la mémorisation du célèbre $\Delta=b^2-4ac$. La forme canonique est très utile dans les mathématiques ultérieures, dans plusieurs circonstances : extrémums, formes quadratiques, calculs d'intégrales, etc.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Donc je m'étonne de lire qu'un élève de seconde sècherait sur l'exercice (sauf pour l'étape de modélisation).
il me semble que c'est loin d'être systématique de donner la formule toute faite (c'est d'ailleurs bien regrettable si c'est le cas car encore une fois on met les difficultés techniques sous le tapis avec une formule que très peu d'élèves de seconde sont capables de démontrer).
On voyait aussi des méthodes comme la résolution de l'équation a x^2+bx+c=c et en prenant ensuite (x1+x2)/2.
Pour le périmètre cela me semble compliqué pour un élève de seconde mais on peut être moins gourmand et demander de démontrer par exemple que le minimum du demi périmètre est atteint pour x0 avec 3<x0<4.
Une fois qu'on a le résultat on peut le démontrer sans calculs en introduisant les symétriques $Q_1$ et $Q_2$ de $Q$ par rapport à $A$ et $D$ puis en cherchant à minimiser $Q_1M+MN+NP+PQ_2$.
Je suis bien d'accord que donner la formule est dommage, d'autant que ma prof de seconde ne l'avait même pas justifiée au moins sur un exemple en complétant le carré, mais je pensais que c'était au programme.
Tu dois trouver quelque chose de la forme 1/2 P= racine(p_1(x) +racine de (p_2(x))
p_1 et p_2 étant les carrés des 2 côtés obtenues avec Pythagore.
f’(x)=0 n’est pas suffisant pour justifier le signe de f’(x).
Le signe est positif à l'extérieur des racines n'est-ce pas ?
Est-ce que A+B>0 est équivalent à $A^2$-$B^2$>0?
Pourrais-tu résoudre sur [0;6] l'inéquation $\frac{4x-16}{\sqrt{2x^2-16x+64}}+\frac{4x-12}{\sqrt{2x^2-12x+36}}$>0 en justifiant chaque étape?