Continuité

Non ce n'est pas niveau L1, on est dans les espaces vectoriels normés. La continuité de la norme n'est vue qu'en L2/ MP.

Raoul.S oui c'est vrai je n'y avais pas pensé.

On a $g(x,y)= \varphi \circ N_2(x,y)$

Or on sait que l'application $(x,y) \mapsto N_2(x,y)$ est continue sur $\R^2$ (cours sur les espaces vectoriels normés) et que l'application $r \mapsto \dfrac{e^{r^2}}{1+r^2}$ est continue sur $\R$ comme quotient de fonctions continues.

Pour la caractérisation séquentielle je ne suis pas sûr mais j'essaie.

Si $(x_n,y_n)$ une suite qui converge vers $(a,b)$. On doit montrer que $g(x_n,y_n)$ tend vers $g(a,b)$.

Ainsi $x_n \longrightarrow a $ et $y_n \longrightarrow b$. Et $x_n ^2 + y_n ^2 \longrightarrow a^2+b^2$ puis par continuité de l'exponentielle $\exp( x_n ^2 + y_n ^2) \longrightarrow \exp(a^2 +b^2)$

Par ailleurs, $1+x_n ^2 + y_n ^2 \longrightarrow 1+a^2 +b^2$

Donc le quotient, lorsque $n$ tend vers plus l'infini, tend vers $\dfrac{\exp(a^2 +b^2)}{1+a^2 +b^2} = g(a,b)$

Bd2017 oui bien vu, la solution du livre est plus compliquée car l'auteur n'a pas encore parlé de la continuité en dimension finie. Cela vient quelques pages plus tard.

Donc on doit travailler sur un compact car le théorème des bornes atteintes a comme hypothèse d'être sur un compact.

Ah d'accord,