Géométries, etc.
Dixit F. Klein :
Une géométrie est un ensemble sur lequel agit un groupe.
Dans les cas qui m'intéressent les ensembles sont trois espaces métriques :
le plan, homéomorphe à $\mathbb{R}^2$,
le plan inversif, homéomorphe à la sphère $\mathbb{S}_2$,
et le plan projectif $\mathbb{P}_2$ affectueusement surnommé le pompon.
Les groupes agissants sont constitués de transformations, i.e. de bijections continues.
La chasse à un invariant d'une géométrie a réussi s'il existe une application $f$ définie sur les couples, les triples ou les quadruples de points distincts, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}_+$, telle que $f = f\circ g$ pour toute transformation $g$ du groupe.
L'lnvariant est principal si le groupe
Par exemple la proportion du triple de points (abc), est |ab,c| := |ac|/|bc|. La proportion est l'invariant principal de la géométrie euclidienne où le groupe des similitudes agit sur les points du plan. Si $s$ : z$\mapsto$z' est une similitude, alors |a'b',c'| = |ab,c| quelle que soit la similitude $s$ et quel que soit le triple de points distincts (abc).
Je dois aller manger.
Une géométrie est un ensemble sur lequel agit un groupe.
Dans les cas qui m'intéressent les ensembles sont trois espaces métriques :
le plan, homéomorphe à $\mathbb{R}^2$,
le plan inversif, homéomorphe à la sphère $\mathbb{S}_2$,
et le plan projectif $\mathbb{P}_2$ affectueusement surnommé le pompon.
Les groupes agissants sont constitués de transformations, i.e. de bijections continues.
La chasse à un invariant d'une géométrie a réussi s'il existe une application $f$ définie sur les couples, les triples ou les quadruples de points distincts, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}_+$, telle que $f = f\circ g$ pour toute transformation $g$ du groupe.
L'lnvariant est principal si le groupe
Par exemple la proportion du triple de points (abc), est |ab,c| := |ac|/|bc|. La proportion est l'invariant principal de la géométrie euclidienne où le groupe des similitudes agit sur les points du plan. Si $s$ : z$\mapsto$z' est une similitude, alors |a'b',c'| = |ab,c| quelle que soit la similitude $s$ et quel que soit le triple de points distincts (abc).
Je dois aller manger.
Réponses
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Après lectures l'invariant principal d'une géométrie serait celui qui permet d'exprimer tous les autres (??) Help.
Je vais expliquer ce qui m'intéresse dans le cadre de la géométrie euclidienne, puis dans le cadre de la géométrie inversive.
Son groupe de transformations est celui des similitudes, son invariant principal est la proportion.
La proportion de trois points distincts $(abc)$ est
$|ab,c|:=|ac|/|bc|$
(Le rapport de similitude doit faire l'objet d'un théorème)
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