Géométries, etc.

Dixit F. Klein :
Une géométrie est un ensemble sur lequel agit un groupe.

Dans les cas qui m'intéressent les ensembles sont trois espaces métriques :
le plan, homéomorphe à $\mathbb{R}^2$,
le plan inversif, homéomorphe à la sphère $\mathbb{S}_2$,
et le plan projectif $\mathbb{P}_2$ affectueusement surnommé le pompon.

Les groupes agissants sont constitués de transformations, i.e. de bijections continues.
La chasse à un invariant d'une géométrie a réussi s'il existe une application $f$ définie sur les couples, les triples ou les quadruples de points distincts, à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}_+$, telle que $f = f\circ g$ pour toute transformation $g$ du groupe.

L'lnvariant est principal si le groupe

Par exemple la proportion du triple de points (abc), est |ab,c| := |ac|/|bc|. La proportion est l'invariant principal de la géométrie euclidienne où le groupe des similitudes agit sur les points du plan. Si $s$ : z$\mapsto$z' est une similitude, alors |a'b',c'| = |ab,c| quelle que soit la similitude $s$ et quel que soit le triple de points distincts (abc).

Je dois aller manger.