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JLapin · November 2021

Je pense qu'on peut accorder vos deux points de vue

Dire que l'ensemble $A=\{k\in \N, \|u_k-\ell\|\geq \varepsilon\}$ est infini donc il existe une fonction $\phi:\N\to A$ strictement croissante et surjective me semble cohérent.
Dire que $\forall n_0\in\N, \exists n\geq n_0, \|u_n-\ell\|\geq \varepsilon$ donc on peut construire une extraction $\phi$ par le procédé qui va bien qui vérifie $\forall n\in\N, \|u_{\phi(n)} - \ell\|\geq \varepsilon$ me semble tout aussi cohérent.

bd2017 · November 2021

Bonjour
En réponse à @Raoul. J'ai peur que dans ce genre de discussion on risque d'aller vers le pinaillage
et faire du @Os pendant plusieurs jours pour des queues de cerises.

Il y a la boule que je note $B$ et je note $BB$ son complémentaire.
On sait qu'il y a une infinité d'indices $n\in N$ tels que $a_n\in BB.$ Soit $E$ cet ensemble d'indices.
$E$ est de cardinal infini et il est totalement ordonné. L'application $\phi$ en question est la bijection qui à $n\in \N$ fait correspondre $\phi(n)\in E $, où $\phi(n)$ est l'élément de $E$ qui est le $n$-ième dans $E$ (lorsque les éléments de $E$ sont rangés dans l'ordre croissant et bien entendu on commence au rang 0).

En résumé ce qu'on (j'utilise) sans le dire explicitement c'est si $E$ est un sous-ensemble de $\N$ de cardinal infini, il existe une bijection croissante (et unique ...) $\phi$ de $\N$ vers $E$.
Mais faire de la concision ce n'est pas agir en mode physicien.
D'ailleurs le livre dit qu'il existe une sous-suite dans $BB$ sans plus de précisions et je ne pense pas que l'auteur a agi en mode physicien.
Je ne vois pas l'intérêt redécouper les cheveux en 4 à chaque fois car j'ai le souvenir qu'@Os a fait cette démo plusieurs fois.

raoul.S · November 2021

bd2017 Je suis d'accord mais tu as bien constaté qu'OShine a eu de la difficulté pour montrer l'existence de cette fameuse fonction $\phi$. À quoi bon avancer s'il ne maîtrise pas la base de la base ? C'est en coupant les cheveux en quatre qu'on se rend compte de ses lacunes.

JLapin (tu)

bd2017 · November 2021

en fait tout le monde est d'accord !

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