Une relation avec les deux points de Fermat
Bonjour à tous
Je propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle, $ O, F_1, F_2 $ le centre du cercle circonscrit, le 1er point de Fermat, le 2e point de Fermat.
On note :
$\Gamma_{F_1}(\odot (O))$ la puissance de $F_1$ par rapport au cercle circonscrit $\odot (O).$
Montrer que :
$$ \Gamma_{F_1}(\odot (O)) + \Gamma_{F_2}(\odot (O)) = -{F_1F_2}^2.
$$ Amicalement.
Je propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle, $ O, F_1, F_2 $ le centre du cercle circonscrit, le 1er point de Fermat, le 2e point de Fermat.
On note :
$\Gamma_{F_1}(\odot (O))$ la puissance de $F_1$ par rapport au cercle circonscrit $\odot (O).$
Montrer que :
$$ \Gamma_{F_1}(\odot (O)) + \Gamma_{F_2}(\odot (O)) = -{F_1F_2}^2.
$$ Amicalement.
Réponses
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Bonjour,
Avec Morley circonscrit:% Bouzar - 06 Novembre 2021 - Une relation avec les deux points de Fermat clc, clear all, close all syms a b c syms aB bB cB % Conjugués aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c; syms r real % r=sqrt(3) %----------------------------------------------------------------------- n1 = i*r*(- b^2*c + a*b^2 - b*c^2 + a*c^2) - (b - c)*(a*b + a*c - b*c + 2*a^2); d1 = i*r*(a*b + a*c - 2*b*c) - 3*a*(b - c); n1B = -i*r*(- bB^2*cB + aB*bB^2 - bB*cB^2 + aB*cB^2) - (bB - cB)*(aB*bB + aB*cB - bB*cB + 2*aB^2); d1B = -i*r*(aB*bB + aB*cB - 2*bB*cB) - 3*aB*(bB - cB); F(r)=n1/d1; FB(r)=n1B/d1B; f1=F(r); f1B=FB(r); f2=F(-r); f2B=FB(-r); % Les deux points de Fermat PuissF1=f1*f1B-1; % Puissance de F_1 PuissF2=f2*f2B-1; % Puissance de F_2 Dist2=(f2-f1)*(f2B-f1B); % Carré de la distance F_1 F_2 Nul=Factor(PuissF1+PuissF2+Dist2) % Doit être égal à 0 % On trouve pour le numérateur Num de Nul: Num=2*(r^2-3)*(a-b)*(a-c)*(b-c)^2*(-(b+c)*(a*b+a*c-2*b*c)*(b-2*a+c)*r^2 + 3*(b-c)^2*(a*b+a*c+2*b*c+2*a^2)); % r^2-3 est en facteur, donc c'est gagné, car r=sqrt(3)
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour.
On a donc $OF_1 ^2 +OF_2^2+F_1 F_2 ^2=2R^2$. Une conséquence géométrique serait bienvenue.
Cordialement, Pierre. -
Bonjour,
Une figure, quand même !!
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
juste pour dire qu'une preuve synthétique est possible...
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour,
Bien sûr qu'une preuve synthétique est possible, comme d'ailleurs, je pense, pour tout résultat démontrable autrement dans le même cadre.
Il n'existe pas, à ma connaissance, de résultat géométrique, démontré par une méthode, pour lequel on ait démontré qu'il n'existe pas de preuve synthétique.
D'ailleurs, en l'occurrence, je peux affirmer sans grand risque qu'une preuve barycentrique est possible,
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour à tous,
j'ai toujours pensé qu'un solution synthétique est toujours possible jusqu'au jour de ce problème...
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol64.html
puis
Une conjecture résolue... (par une hyperbole sur l'idée de pappus)...
J'ai posé ce problème sur différents sites... (tour de la planète..)
Ma question est : y a-t-il une limite dans la recherche d'une preuve synthétique ?
ou bien manque-t-il un chaînon synthétique manquant ?
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour,
ma preuve...
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol70.html
puis
Une remarquable relation de Telv Cohl.
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour,
Une preuve en coordonnées barycentriques:% Bouzar - 06 Novembre 2021 - Une relation avec les deux points de Fermat clc, clear all, close all syms a b c S real % Longueurs des côtés du triangle ABC et son aire S Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2; S2=(a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)/16; % Carré de l'aire (S2=S^2) %----------------------------------------------------------------------- % Centre du cercle circonscrit et carré de son rayon O = [a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc]; R2 = a^2*b^2*c^2/(16*S2); % Points de Fermat syms u v w r S real % r=sqrt(3) et S=Aire(ABC) F(u,v,w,r)=(u+2*r*S)*(v+w)+4*v*w; % Fonction pour la permutation circulaire F1=[F(Sa,Sb,Sc,r); F(Sb,Sc,Sa,r); F(Sc,Sa,Sb,r)]; % Premier et second F2=[F(Sa,Sb,Sc,-r); F(Sb,Sc,Sa,-r); F(Sc,Sa,Sb,-r)]; % point de Fermat OF1=Distance2(O,F1,a,b,c); % Carré de la distabce OF_1 OF2=Distance2(O,F2,a,b,c); % Carré de la distance OF_2 F1F2=Distance2(F1,F2,a,b,c); % Carré de la distance F_1F_2 X=Factor(OF1+OF2+F1F2); X=expand(X); X=subs(X,r^4,9); X=subs(X,r^2,3); X=subs(X,S^2,S2); Nul=Factor(X-2*R2) % Égal à 0, donc c'est gagné
Cordialement,
Rescassol -
Bonsoir et merci Rescassol pour tes contributions.
Amicalement
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Bonjour!
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