Lemme d'Urysohn

Bonjour,

Je fais face à l'exercice suivant en analyse fonctionnelle.
$X$ est un espace séparé localement compact qui n'est pas compact.
$C_0(X)$ est l'espace de Banach qui consiste de fonctions continues $X\to \R$ telles que pour tout $\epsilon>0$ $\{x\in X: |f(x)|\geq \epsilon \}$ est compact.
Je veux montrer que la boule unité de $C_0(X)$ n'a pas de points extrémaux.

Soit $f\in C_0(X)$ telle que $||f||=1$. Alors l'ensemble $\{x\in X: |f(x)|\geq \frac12 \}$ est compact et non-vide et son complément est ouvert et non-vide (sinon $X$ serait compact).
Je veux construire maintenant une fonction $g\in C_0(X)$ telle que $||f\pm g||\leq 1$, ceci impliquerait que $f=\frac12(f+g)+\frac12(f-g)$. Pour cela, j'ai trouvé la version suivante du lemme d'Urysohn dans Rudin:
Soit $X$ un espace séparé localement compact, $V\subset X$ ouvert, $K\subset X$ compact tel que $K\subset V$. Alors il existe une fonction continue $g:X\to [0,1]$ à support compact inclus dans $V$ telle que $g|_K=1$.
Mais je ne vois pas en quoi ce lemme m'aiderait. Toute aide est la bienvenue, je suis à la recherche d'un indice