Théorème des bornes atteintes
Bonsoir,
Je bloque sur le passage en rouge.
On a démontré précédemment que :
Proposition :
L'image d'un compact par une application continue est un compact.
Corollaire :
Soit $A$ une partie compacte non vide. Alors toute application continue de $A$ dans $\R$ est bornée et atteint ses bornes.
Soit $f : A \longrightarrow \R$ une application continue, où $A$ est une partie compacte. L'image de $A$ par $f$ est un compact donc :
$f(A)$ est bornée ce qui assure que $f$ est bornée.
$f(A)$ est fermée, ce qui assure que les bornes de $f$ sont atteintes.
Je bloque sur le passage en rouge.
On a démontré précédemment que :
Proposition :
L'image d'un compact par une application continue est un compact.
Corollaire :
Soit $A$ une partie compacte non vide. Alors toute application continue de $A$ dans $\R$ est bornée et atteint ses bornes.
Soit $f : A \longrightarrow \R$ une application continue, où $A$ est une partie compacte. L'image de $A$ par $f$ est un compact donc :
$f(A)$ est bornée ce qui assure que $f$ est bornée.
$f(A)$ est fermée, ce qui assure que les bornes de $f$ sont atteintes.
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Réponses
Connais-tu la caractérisation des fermés par les suites?
C'est-à-dire qu'il est interdit de dire "je bloque" avant d'avoir commencé à écrire quelque chose.
Donc $f(A) \subset [-M, M] $.
Mais tout fermé de $\R$ inclus dans un segment un un segment donc les bornes de $f$ sont atteintes.
Gon je ne vois pas comment faire intervenir les suites.
Montre que $A$ admet un maximum.
Notons la $a=\sup A$.
Montons que $a \in A$. Par caractérisation de la borne supérieure, il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$.
Mais $A$ est fermé donc $a \in A$.
J'ai déjà posté ma preuve plus haut.
1. A est un compact, qui a dit que A est une partie de $\R$?
Cela veut dire quoi le sup A. Il y a un ordre dans A?
Tu appelles cela une démonstration?
Soit M=sup(f(A))
Il existe une suite $y_n=f(x_n)$ de f(A) qui converge vers $M $
On extrait de la suite $(x_n)$ une sous-suite (toujours notée (x_n)) qui converge vers $l \in A$.
Par continuité $f(x_n)$ converge vers $f(l)=M$
La borne sup est atteinte.
exercice compléter la rédaction pour qu'elle soit irréprochable.
Alors à quoi servent tous les $\varepsilon$ (d'ailleurs inutiles) que tu introduis dès qu'on te demande la définition d'une borne supérieure ou d'un point adhérent ?
Rakam :
$a$ est adhérent à $A$ si et seulement si il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$.
$a = \sup A$ si et seulement si il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$.
Donc la borne supérieure est un point adhérent.
Mais pourquoi tu parles d'adhérence ici ? C'est quoi le lien avec ma question ?
$A$ est un compact donc une partie fermée et bornée. Or $x_n \in A$ pour tout $n$ donc $(x_n)$ est une suite bornée, on peut en extraire une sous-suite convergente d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass.
Est-ce que tu te rends compte de ce que tu écris?
RLC je vois l'adhérence visuellement. Je sais que pour un fermé, son adhérence est égale à lui-même. Mais je ne vois pas où on utilise l'adhérence pour démontrer ce résultat :-S
Amédé
Ta première ligne ne sert à rien. Pour le reste je suis d'accord.
La caractérisation séquentielle de la borne sup donne directement l'existence d'une suite d'éléments de $f(A)$ qui converge vers $a=\sup (f(A))$
Des fois OShine je me demande si tu es aveugle...
À part les blagues OShine, est-ce que tu ne serais pas dyslexique ? Car ça pourrait expliquer un certains nombre de choses.
Je suis sérieux. J'ai fait une petite recherche rapide "dyslexie math" et j'ai trouvé un compte rendu d'un groupe de professeurs de mathématiques de l'académie de Strasbourg qui se sont intéressé aux problématiques liées à la dyslexie dans l'apprentissage. Voici le texte https://www.ac-strasbourg.fr/fileadmin/pedagogie/mathematiques/College/Dyslexie/Introduction_Maths_V2.pdf.
Voici un extrait :
Confronté en classe à des élèves présentant des troubles du langage écrit tel que
la dyslexie, le professeur constate que la lecture en mathématiques ne va pas de soi.
De plus, certains problèmes dont l’énoncé est développé et fortement contextualisé, les textes explicatifs, les textes de démonstrations, les commentaires d’exercices résolus et les synthèses font l’objet d’un écrit plus long.
Ces différents types de textes, par leur taille et en raison d’imbrications d’informations peu hiérarchisées ou trop succinctes,
demandent une attention plus importante qui dépasse la capacité de stockage en mémoire, réduite chez nombre de dyslexiques à trois ou quatre informations.
Il est probable que les élèves dyslexiques, qui connaissent des difficultés de mémorisation n’aient qu’une représentation parcellaire des informations à traiter. Ce manque conduit à une mauvaise compréhension du texte mathématique.
Mes deux phrases ont été écrites sans regarder mon livre. Le livre dit la même chose :
Un point $a$ est adhérent à une partie $A$ si et seulement si il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$.
Soit $A \subset \R$ une partie majorée ainsi que $s$ un majorant de $A$.
On a $s= \sup A$ si et seulement si il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $s$.
Donc c'est quoi l'erreur encore que je ne trouve pas même en relisant les définitions du livre et en les recopiant exactement ?
Tu as dit : $a = \sup A$ si et seulement si il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $a$..
Donc si je prends $A=[0,2]$, j'en déduis que $1=\sup A$ car il existe une suite d'éléments de $A$ qui converge vers $1$...
J'ai relu la preuve et en effet, on utilise bien le fait que $a$ est un majorant de $A$.
Il y a tellement de caractérisations séquentielles que je me perds entre les bornes sup, les fermés, les compacts etc...
$A$ bornée admet une borne supérieure.
$\sup A$ est un point adhérent.
$A$ est fermé donc égal à son adhérence.
Voilà tout ce que je te demandais de voir, ce n'était pas monstrueux !