Structure de corps sur R^3
Bonjour
Je me demande si on peut généraliser la construction du corps des complexes en dimension 3.
Je me dis bien que la réponse doit être négative sinon ça devrait être connu...
Formellement, est-ce qu'il existe une loi de composition interne $\times$ dans $\R^3$ telle que $(\R^3,+,\times)$ soit un corps ?
Je me demande si on peut généraliser la construction du corps des complexes en dimension 3.
Je me dis bien que la réponse doit être négative sinon ça devrait être connu...
Formellement, est-ce qu'il existe une loi de composition interne $\times$ dans $\R^3$ telle que $(\R^3,+,\times)$ soit un corps ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
La réponse de Kolakoski est par contre "la bonne réponse", au sens où si tu demandes quoi que ce soit de raisonnable à cette structure, alors non.
Par exemple, si tu demandes que $\times$ soit continue, ou si tu demandes qu'il y ait un morphisme de corps $\R \to \R^3$ tel que le second soit une extension de degré $3$ du premier.
Bonne soirée.
$\bullet$ Soit $a \in E$, $ a\neq 0$ ; l'application $y \mapsto ay$, de $E$ dans $E$, est un endomorphisme du $\R$-espace vectoriel $E$. Comme l'algèbre $E$ est intègre et de dimension finie, et que $ a\neq 0$, cette application est un automorphisme du $\R$-espace vectoriel $ E$. Il existe donc $u \in E$ tel que $ au=a$, l'élément $u$ dépendant éventuellement de $a$.
$\bullet$ Pour tout $y \in E$, on a : $auy=ay$, et comme $a \neq 0$, l'intégrité et l'associativité conduisent à : $uy=y$, pour tout $y \in E$.
$\bullet $ Soit $x \in E$ ; l'application $y \mapsto xy$, de $E$ dans $E$, est un endomorphisme du $\R$-espace vectoriel $E$. Cet espace étant de dimension finie et impaire, cet endomorphisme a une valeur propre réelle $\lambda$, ce qui signifie qu'il existe $z \in E$ tel que : $xz=\lambda z$ et $z\neq 0$. Par suite : $xz=\lambda uz$ et comme $z \neq 0$, l'intégrité force à conclure : $x=\lambda u$, d'où : $E= \R u$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
07/11/2021