Convergence d'une série

Brigate · November 2021

Bonjour
Soit $(k_n)_n$ une suite d'entiers strictement positifs. $\theta$ un réel strictement positif.
J’étudie la série suivante : $$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{\theta^n \prod_{i=0}^n k_n}.

$$ J'aimerais montrer que la série converge si et seulement si $\displaystyle \ \theta > \liminf_{n \to \infty} \Big(\prod_{i=0}^n k_n\Big)^{\frac{1}{n}} .$
Je tourne en rond, j'en suis à me demander si le problème est bien posé... Une idée ?

Riemann_lapins_cretins · November 2021

Euh... $\theta$ est constant il ne joue pas dans la convergence. Il doit y avoir une erreur.

Brigate · November 2021

Pardon ! C'est moi qui n'ai pas fait attention pour le coup, il s'agit de $\theta^n$. C'est corrigé.

Riemann_lapins_cretins · November 2021

Il s'agit d'une série entière donc (en $\frac{1}{\theta}$).
Ce que tu cherches est donc le rayon de convergence de la série. La formule de Cauchy donne exactement le résultat que tu souhaites.

Par contre il faut se méfier de l'équivalence. Il se peut qu'il y ait convergence lorsqu'il y a égalité.

Brigate · November 2021

Merci pour ta réponse. Quand tu parles de formule de Cauchy tu parles du produit de Cauchy ? de la règle de Cauchy ? ou d'autre chose ? Quand je tape formule de Cauchy je tombe sur un théorème d'analyse complexe. Excuse mon ignorance, j'ai de grosse lacune sur certaines parties des mathématiques et les séries entières en font partie.

Riemann_lapins_cretins · November 2021

Cherche "rayon de convergence" sur Wikipedia. Il y a la formule quelque part dans les propriétés.

Brigate · November 2021

Merci !X:-(

Riemann_lapins_cretins · November 2021

Donc c'est presque vrai.
Comme j'ai dit, le cas d'égalité n'a pas de réponse générale et tout peut se passer. Par contre si tu as ton inégalité stricte tu as convergence, et si elle est retournée mais toujours stricte ça ne converge pas.

Convergence d'une série

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