Convergence d'une série
Bonjour
Soit $(k_n)_n$ une suite d'entiers strictement positifs. $\theta$ un réel strictement positif.
J’étudie la série suivante : $$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{\theta^n \prod_{i=0}^n k_n}.
$$ J'aimerais montrer que la série converge si et seulement si $\displaystyle \ \theta > \liminf_{n \to \infty} \Big(\prod_{i=0}^n k_n\Big)^{\frac{1}{n}} .$
Je tourne en rond, j'en suis à me demander si le problème est bien posé... Une idée ?
Soit $(k_n)_n$ une suite d'entiers strictement positifs. $\theta$ un réel strictement positif.
J’étudie la série suivante : $$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{\theta^n \prod_{i=0}^n k_n}.
$$ J'aimerais montrer que la série converge si et seulement si $\displaystyle \ \theta > \liminf_{n \to \infty} \Big(\prod_{i=0}^n k_n\Big)^{\frac{1}{n}} .$
Je tourne en rond, j'en suis à me demander si le problème est bien posé... Une idée ?
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Réponses
Ce que tu cherches est donc le rayon de convergence de la série. La formule de Cauchy donne exactement le résultat que tu souhaites.
Par contre il faut se méfier de l'équivalence. Il se peut qu'il y ait convergence lorsqu'il y a égalité.
Comme j'ai dit, le cas d'égalité n'a pas de réponse générale et tout peut se passer. Par contre si tu as ton inégalité stricte tu as convergence, et si elle est retournée mais toujours stricte ça ne converge pas.