Intégrale

Bonjour,

Faut-il sommer l’intégrale jusqu’à $E(x)$ ou $E( x)-1$ ?

L’intégrale de $t$ est $t^2/2$ donc un $2 k+1-k=k+1$ dont la somme est $E(x)(E(x)+1)/2$ et on voit le carré apparaître…

On a $x=E(x)+\{x\}=E(x)+\psi(x)+1/2.$

Bonjour,

Je reprends mais je te donne le résultat alors que je voulais donner une indication.

Tu commets je crois l’erreur de considérer que $x$ est entier. Donc dans la somme indicielle tu sommes jusqu’à du $E(x)$ mais tu oublies le terme entre $E(x)$ et $x.$

On a $\displaystyle \psi(x)=F(x)-1/2.$
On cherche $\displaystyle \psi_2(x)=\int_0^x \psi(t) dt. $

On a $\displaystyle x=E(x)+F(x).$

Donc on utilise Chasles et on décompose l’intégrale en une somme d’intégrale de longueur $1$ :
$\displaystyle \psi_2(x)=\sum_{k=0}^{E(x)-1} \int_k^{k+1} \psi(t) dt +\int_{E(x)}^x \psi(t) dt .$

La première somme aboutit à $k+1$ pour $\displaystyle k=E(x)-1$ et donc à $E(x).$

L’intégrande de la première intégrale est $\displaystyle F(t)-1/2=t-k-1/2$ et je te laisse vérifier que l’intégrale est nulle. Incroyable.

L’intégrande de la seconde intégrale est $\displaystyle F(t)-1/2=t-E(x)-1/2$ dont l’intégrale donne le résultat cherché.

Plus généralement, on a
$$\int_a^b \psi(t) \, \textrm{d}t = \tfrac{1}{2} \left( \psi(b)^2 - \psi(a)^2 \right).$$
Une démonstration élémentaire possible (mais il y en a bien d'autres) consiste d'abord à voir qu'il faut et il suffit de montrer
$$\int_a^b \{t\} \, \textrm{d}t = \tfrac{1}{2} \left( \lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor + \{b\}^2 - \{a\}^2 \right)$$
et pour avoir cette identité, on peut penser à découper l'intégrale de gauche en $3$ morceaux
$$\int_a^{\lfloor a \rfloor+1} + \int_{\lfloor a \rfloor +1}^{\lfloor b \rfloor} + \int_{\lfloor b \rfloor}^b$$
les trois intégrales étant alors faciles à calculer (par exemple, la seconde intégrale compte l'aire totale de $\lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor - 1$ triangles disjoints d'aire $\frac{1}{2}$).