Bonjour,
Soit $K$ un corps topologique séparé connexe et algébriquement clos.
1) Est-ce qu'il y a d'autres corps ayant ces propriétés que $\C$ ?
2) Est-ce que toute variété algébrique irréductible sur un tel corps $K$ est nécessairement connexe ?
Merci d'avance.
Réponses
1) Les corps des matrices diagonales incluses dans $Gl_n(\mathbb{C}))$l ne sont pas isomorphes à $\mathbb{C}$ si $n\ge 2$.
Merci d'avance.
Je pensais aussi que peut-être la clôture algébrique de $\R(X)$ pouvait convenir (en supposant $X$ supérieur strictement à tout $x \in \R$). On peut munir $\R(X)$ de la topologie de l'ordre. Mais je ne sais pas si on peut étendre la topologie à la clôture algébrique de $\R(X)$.
Source: cf. le dernier commentaire de la première réponse ici: https://mathoverflow.net/questions/87967/is-the-reals-the-smallest-connected-ordered-topological-ring
Est-ce que c'est correct ?
Peut-être pour les corps topologiques, c'est différent
Ici j'ai un doute sur l'exprimabilité des propriétés topologiques, mais je n'y ai pas beaucoup réfléchi.