Suite convergente dans un compact
Bonsoir,
Je commence le chapitre sur la compacité et je trouve ces notions difficiles et subtiles.
Je bloque sur les passages encadrés. J'y ai réfléchis mais je n'arrive pas à les comprendre seul.
Il s'agit de la démonstration du théorème suivant :
Une suite à valeurs dans une partie compacte est convergente si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.
Pour le premier passage, je pense qu'on pose $\varphi(n)=n+n_0$ mais je n'arrive pas à en déduire que $$(\exists \ \varepsilon >0 \ \ \forall \ n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n- \alpha|| > \varepsilon) \implies (\forall n \in \N \ ||a_{n+n_0}- \alpha || > \varepsilon)$$ ...
Pour le deuxième passage, je ne suis pas sûr. La composée de deux sous-suites est une sous-suite car si $\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont strictement croissante alors la composée $\varphi_1 \circ \varphi_2$ aussi ?
Je commence le chapitre sur la compacité et je trouve ces notions difficiles et subtiles.
Je bloque sur les passages encadrés. J'y ai réfléchis mais je n'arrive pas à les comprendre seul.
Il s'agit de la démonstration du théorème suivant :
Une suite à valeurs dans une partie compacte est convergente si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.
Pour le premier passage, je pense qu'on pose $\varphi(n)=n+n_0$ mais je n'arrive pas à en déduire que $$(\exists \ \varepsilon >0 \ \ \forall \ n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n- \alpha|| > \varepsilon) \implies (\forall n \in \N \ ||a_{n+n_0}- \alpha || > \varepsilon)$$ ...
Pour le deuxième passage, je ne suis pas sûr. La composée de deux sous-suites est une sous-suite car si $\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont strictement croissante alors la composée $\varphi_1 \circ \varphi_2$ aussi ?
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Réponses
Sinon, voir ici.
C’est fou quand même.
Essaie de comprendre la manière dont on construit la suite. C'est grave quand même, tu as vu cent fois des constructions du genre.
Sinon la compacité niveau spé n'est pas une notion spécialement subtile, bien au contraire c'est un type d'ensembles vraiment idéal et confortable pour faire de l'analyse. Si bien qu'une technique courante pour établir certains théorèmes est d'écrire certains ouverts comme des limites de compacts.
Un compact c'est juste un ensemble "pas trop gros". Il est tangible en dimension finie (fermé et borné, en gros tout ce sur quoi on a une prise véritable), en dimension infinie il est précieux puisque minuscule (il ne contient pas de boule fermée par exemple, donc il n'est que fumée bien que fermé), mais dans tous les cas il est pratique : on peut prendre des limites de suites, des extremas de fonctions, bref établir des existences d'éléments sans problème.
Voilà à quoi servent les compacts en première approche. Ce ne sont pas des mots stylés et nébuleux donc cesse de te braquer dès qu'il y a un mot un peu classe quelque part.
Je ne comprends pas comment on construit la sous-suite $(b_n)$ j'ai relu les messages ça ne me débloque pas...
RLC j'ai souvent des blocages avec les raisonnements qui utilisent les suites extraites…
la ligne du dessus est vraiment importante Mr Oshine :-D. Il est marqué que pour tout $n_{0}$ il existe... C'est là que se cache la construction de ta sous-suite car on fait une énumération croissante des entiers qui vérifient cette inégalité. ce qui permet d'aboutir à ce qu'on cherche.
On appelle valeur d'adhérence d'une suite $(a_n)$ tout élément de $E$ qui est limite d'une sous-suite de $(a_n)$.
Gon d'accord merci. Voici mon idée.
Pour $n_0 =0$ il existe un élément $n$ tel que $n \geq n_0 \implies ||b_n - \alpha || > \varepsilon$. Notons-le $\varphi(0)$.
Pour $n_0 =1$, il existe un élément $n'$ tel que $n \geq 1 \implies ||b_n - \alpha || > \varepsilon$. Posons $\varphi(1)= \max( \varphi(0), n')$
Pour $n_0 =2$, il existe un élément $n''$ tel que $n \geq 2 \implies ||b_n - \alpha || > \varepsilon$. Posons $\varphi(2)= \max( \varphi(0), \varphi_1, n'')$
Ainsi, par itération on construit une suite $\varphi : \N \longrightarrow \N$ strictement croissante.
Par contre, je n'arrive pas à montrer que $\forall n \in \N \ \ ||b_n- \alpha|| > \varepsilon$.
J'ai lu en vrac ce que tu as écrit mais la suite qui vérifie ton inégalité découle de la ligne dont je te parlais plus haut, donc qu'est-ce que tu veux montrer ?
Je crois que ma construction est correcte.
Pour chaque entier n il existe un rang N qui dépend de n a partir duquel on a l'inégalité voulue.
Ensuite c'est juste de la rédaction et on doit bien ordonner les N pour avoir phi strictement croissante.
La notion de suite croissante, c'est défini parfois, mais pas systématiquement. Ici, non. Tu as tenté un truc au hasard, et mauvaise pioche.
Et pire. Tu parles de la composée de 2 sous-suites. C'est un concept que tu viens d'inventer ? Tu définis ça comment ?
T'es comme les mauvais élèves de lycée, tu mets des mots à consonnance mathématiques les uns derrière les autres, et ça te donne l'impression de faire des maths.
C’est une démarche débile.
Tout ça parce que t’as du mal à comprendre qu’avec une infinité de termes d’une suite on peut en extraire une sous-suite...
Comment tu visualises concrètement une valeur d'adhérence ?
Shannon bien vu c'est $\varphi(1)=\max( \varphi(0)+1,n')$ sinon on n'a pas la stricte croissance.
Lourran je me suis mal exprimé.
Une sous-suite d'une sous-suite est une sous-suite.
Démonstration :
Soit $u$ une suite et $(u_{\varphi(n)})$ une sous-suite extraite de $u$. Alors $\varphi$ est une application strictement croissante de $\N$ dans $\N$.
Posons $v_n=u_{\varphi(n)}$ Une sous-suite de $v$ est $(v_{\psi (n)}$) avec $\psi$ strictement croissante.
Comme $\psi \circ \varphi$ est strictement croissante comme composée de deux applications strictement croissantes de $\N$ dans $\N$ alors $(u_{\psi \circ \varphi})$ est une sous-suite de $u$.
Tu sais le faire ?
RLC une valeur d'adhérence c'est un valeur où s'accumulent une infinité de terme de la suite.
En revenant à ce que tu as écrit plus haut, il suffit avec une feuille et un stylo de voir comment on construit notre sous-sous-suite (en parlant surtout des indices en question).
Tu peux même construite cette application en posant $\phi(n)=\max\{n \in \mathbb{N} \ ;\ \lvert U_{n}-l \rvert >\epsilon\}$.
En revenant à mon énumération dans mon message précédent, il s'agissait de regarder :
si on pose $N=1$, il existe $n_{1}>1$ tel que ...
Si on prend $N=n_{1}>1$, il existe $n_{2}>n_{1}$ tel que ...
On construit bien une sous-suite...
Désolé.
"Il y a une infinité de termes de la suite en dehors de la boule de centre a et de rayon epsilon"
Ces termes forment une sous-suite en dehors de la boule mentionnée ci dessus.
Donc il essaie de démontrer ce qu'il a écrit parce que il ne sait pas ce qu'il a écrit ?
Il n'y a rien à montrer, la construction de la sous-suite donne l'inégalité voulue.
Il dit que tu peux prendre phi(n)= max d'un certain ensemble ...
Moi je ne comprends pas explique un peu.
Tu connais le théorème de Bolzano-Weierstrass donc non tu ne fais rien de nouveau.
Tu es juste de mauvaise volonté.
Je ne demande pas de recul. Le recul ce sera le stade où justement tu comprendras qu'un compact est un ensemble parmi les plus sympas qui soient.
Juste en une phrase autre que la définition ce que signifie "l est valeur d'adhérence de u". Une phrase en français.
Et pourquoi le théorème de Bolzano-Weierstrass est évident sur un dessin partant de cette définition interprétée ?
Mais si tu veux tu as le droit de préférer galerer à comprendre comment construire une suite qui dit juste "on pose $\phi(n+1)$ le plus petit entier plus grand que $\phi(n)$ tel que la relation marche" au bout de cinquante ans à "apprendre les maths" en autodidacte. J'imagine que c'est normal de ne pas avoir de recul sur des constructions aussi simples après si peu d'années et d'heures perdues à choper des sinusites pour apprendre par cœur des suites de symboles sans chercher à comprendre parce que "c'est normal que ce soit du chinois" avant d'aller fixer des énoncés tel un bovin pendant des heures histoire de faire semblant de les chercher avant d'aller copier le corrigé.
Une valeur d'adhérence c'est un valeur où s'accumulent une infinité de terme de la suite.
Bd2017 je crois que l'expression de $\phi(n)$ de Gon est fausse car l'ensemble $\{ n \in \N \ | \ ||u_n - \alpha || > \varepsilon \}$ n'est pas majoré.
Noobey je n'ai jamais dit ça. Voici ma construction d'une sous-suite.
Si $N=0$, il existe $n_0 \in \N$ tel que $n \geq n_0 \implies ||u_n -\alpha|| > \varepsilon$. On pose $\varphi(0)=n_0$
Si $N=1$, il existe $n_1 \in \N$ tel que $n \geq n_1 \implies ||u_n -\alpha|| > \varepsilon$. On pose $\varphi(1)=\max \{ n_1, \varphi(0)+1 \}$
Si $N=2$, il existe $n_2 \in \N$ tel que $n \geq n_2 \implies ||u_n -\alpha|| > \varepsilon$. On pose $\varphi(2)=\max \{ n_2, \varphi(1)+1 \}$
Si $N=k$, il existe $n_k \in \N$ tel que $n \geq n_k \implies ||u_n -\alpha|| > \varepsilon$. On pose $\varphi(k)=\max \{ n_k, \varphi(k-1)+1 \}$
On voit clairement lors de la construction que $\boxed{\forall k \in \N \ \ ||u_{\varphi(k)} -\alpha|| > \varepsilon}$
Donnez-moi une solution correcte alors.
Je répète la première ligne signifie qu'il existe une infinité de $a_n $
en dehors de la boule $B(\alpha, \epsilon).$
Les termes de cette suite qui sont en dehors de la boule est donc une sous-suite qui répond à la deuxième ligne. C'est une évidence. Que peut-on démontrer de plus?
Ceci montre que tu ne sais pas lire.
Et quand quelqu'un écrit n'importe quoi (comme on peut le constater ci-dessus) tu trouves que c'est clair
mais quand c'est vraiment clair, pour toi c'est du chinois.
Cela va continuer combien de temps?
à quoi servirait un "solution correcte" alors que tu es capable d'écrire ce message ? Tu écris, tu écris, tu imites des démonstrations en copiant leur écriture, jamais leur signification !! Tu ne t'es même pas rendu compte que ce que tu écris permet de prendre $n_0=n_1=n_2 = ...$ puisque c'est le même $\varepsilon$. Tu écris sans même te rendre compte que ta condition initiale "Si $N=0$", "Si $N=1$", "Si $N=2$", ... est aberrante puisque ce qui suit ne dépend pas de $N$.
Tu ne fais pas des maths, seulement de la calligraphie. Et sur ordinateur, c'est vraiment sans intérêt.
Cordialement.
pourquoi OShine ?
PS. B-)-
Gerard je ne comprends toujours pas l'erreur.
Je sais que le $n_0$ ne dépend pas de $\varepsilon$. Mais c'est le $n \geq n_0$ qui dépend de $n_0$.
Je ne vois toujours pas où est mon erreur :-S
Gon a fait la même "erreur" que moi et pourtant personne ne fait de remarque sur son message.
tu dois pouvoir construire une suite extraite qui convient, donc une application $\varphi : \N \longrightarrow \N$ strictement croissante telle que pour tout $n\in \N$, $||a_{\varphi(n)}- \alpha|| > \varepsilon$.
Et supprime tes symboles $\implies$ qui n'ont rien à faire là.
Si $n_0 =0$ alors il existe $n \geq 0$ tel que $||a_n - \alpha|| > \varepsilon$.
Posons $\varphi(0)= \min \{ n \in \N \ \ n \geq 0 \ \ \ ||a_n - \alpha|| > \varepsilon \}$
Si $n_0 =1$ alors il existe $n \geq 1$ tel que $||a_n - \alpha|| > \varepsilon$.
Posons $\varphi(1)=\max \left( \min \{ n \in \N \ \ n \geq 0 \ \ \ ||a_n - \alpha|| > \varepsilon \} +1, \min \{ n \in \N \ \ n \geq 1 \ \ \ ||a_n - \alpha|| > \varepsilon \} \right)$
On a donc $\varphi(1) > \varphi(0)$
Et on continue par itération. Les $\varphi(n)$ sont des éléments de l'ensemble $\{ n \in \N \ \ \ ||a_n - \alpha|| > \varepsilon \}$ ainsi on a $\forall n \in \N \ \ ||a_{\varphi(n)}- \alpha || > \varepsilon$
Imagine dans ta construction ci-dessus que $\min \{ n \in \N \mid n \geq 1, \ ||a_n - \alpha|| > \varepsilon \}$ est égal à $\varphi(0)$ (ça pourrait arriver en pratique) que vaudra ton $\varphi(1)$ ?
C'est pour cela que je prend le maximum.
RLC voici une méthode plus simple que j'ai trouvée.
Si $n_0 =0$ alors il existe un entier $N_0 \geq 0$ tel que $||a_{N_0}- \alpha|| > \varepsilon$. Posons $\varphi(0)=N_0$
Si $n_1 = N_0+1$ alors il existe un entier $N_1 \geq N_0+1$ tel que $||a_{N_1}- \alpha|| > \varepsilon$. Posons $\varphi(1)=N_1$
Si $n_2 = N_1 +1$ alors il existe un entier $N_2 \geq N_1 +$ tel que $||a_{N_2}- \alpha|| > \varepsilon$. Posons $\varphi(2)=N_2 $
La construction impose clairement la stricte croissance de $\varphi$.
Tu m'étonnes... B-)-
Le problème c'est que rien ne te garantit que $\varphi(0)+1\in \{ n \in \N \mid n \geq 0 ,\ ||a_n - \alpha|| > \varepsilon \}$ et donc tu n'as pas forcément $||a_{\varphi(0)+1}- \alpha|| > \varepsilon$...
Pour ta méthode ci-dessus c'est effectivement la bonne.
Finalement j'ai mis 2 jours à trouver mais au moins je ne l'oublierai pas vu qu'on ne m'a pas donné la solution.
C'est bien trop tard pour qu'on te félicite de dire ça. On dirait presque du foutage de gueule.
Parce qu'en fait, la suite (ce n'est pas un jeu de mot) ne présente vraiment aucune difficulté...
D'ailleurs, ton livre utilise la lettre $\beta$ mais c'est inutilement compliqué... (edit : je vais être de bonne foi et remplacer "compliqué" par "maladroit")
La suite est sans difficulté en effet, c'est ce passage qui me bloquait.
$\{ n \in \N \mid || a_n - \alpha||> \varepsilon\}$ est infini, donc?
Je répète une troisième fois
La première ligne dit
"Il y a une infinité de termes de la suite en dehors de la boule de centre a et de rayon epsilon"
Ces termes forment une sous-suite en dehors de la boule mentionnée ci dessus.
Et bien si ce n'est pas une construction explicite, c'est quoi?
Une personne avec un peu de jugeotte doit voir que c'est la plus grande sous-suite qui répond à la question
et ne dira pas que la construction n'est pas explicite.
En fait tes 2 jours on servit a montrer que dans cette (sous-)suite que j'ai donnée, on peut construire une sous-suite, c'est à dire à brasser du vent.
Bravo l'artiste!
Tu veux utiliser (*) ci-dessous
(*) pour tout $n_0$ il existe $n\geq n_0$ tel que $a_n$ n'est pas dans la boule.
D'après (*) on peut dire qu'il existe $n_0$ tel que et $n_0\geq 0$ tel que $a_{n_0}$ ne soit pas dans la boule.
D'après (*) on peut dire qu'il existe $n_1$ tel que et $n_1\geq n_0+1$ tel que $a_{n_1}$ ne soit pas dans la boule.
Et ainsi de suite par récurrence.
En posant $\phi(i)=n_i,i=0,...,n$ on a bien construit une sous-suite $a_{\phi(i)}$ qui est en dehors de la boule.
En quoi c'est explicite ? je ne vois pas...
Grosso modo ce que tu as fait en 2 jours c'est simplement rappeler qu'une sous-suite de la suite (a_n)
c'est une suite qu'on peut numéroter avec $\phi(n),n=0,\ldots $ où $\phi$ est croissante vers $\N$.
Autrement la suite que tu donnes est moins explicite que celle que j'ai donnée.
Et en plus c'est un sacré retour en arrière par rapport à la notion de compact.
Cela veut dire que tu abordes la notion de compact avec des lacunes en pagailles sur les suites...
Comment veux tu progresser ?
Désolé bd2017 mais ce que tu dis n'est pas une construction explicite, là tu es plutôt en mode physicien. Si on veut être rigoureux il faut la construire la suite extraite, et quand je dis construire je veux dire prouver qu'il existe une fonction $\varphi:\N\to \N$ qui fait le job.
Et si tu n'es pas d'accord je te propose comme challenge d'oser aller le dire sur le sous-forum "Fondements et Logique" (et prépare-toi à te faire incendier, quoique dernièrement il est plutôt mort ce sous-forum...) :-D.
Alors oui lorsqu'on a l'habitude et qu'on voit $\exists \ \varepsilon >0 \ \ \forall \ n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n- \alpha|| > \varepsilon$ effectivement on ne va pas démontrer qu'un tel $\varphi$ existe. Mais OShine n'a pas l'habitude de se salir les mains pour démontrer les choses basiques au moins une fois, et donc pour lui expliciter la fonction $\varphi$ était formateur.
PS. en espérant qu'il n'a pas pompé tout ça quelque part... 8-)