Ordre d'un produit d'éléments

Soit $G$ un groupe abélien.

Je sais que si $(a,b)\in G^2$ avec leurs ordres $\omega(a)$ et $\omega(b)$ finis et premiers entre eux, alors $\omega(ab)=\omega(a)\omega(b)$.

Est-ce qu'on a aussi la propriété plus générale : si $(a_i)_{i\in I}$ est une famille finie d'éléments de $G$ avec $(\omega(a_i))_{i\in I}$ une famille d'éléments finis deux à deux premiers entre eux, alors $\omega\left(\underset{i\in I}\prod a_i\right)=\underset{i\in I}\prod\omega(a_i)$ ?

Selon moi oui, par récurrence, mais je suis étonné de pas voir ce résultat dans les cours que j'ai étudiés. Ainsi, je me demande si je ne passe pas à côté d'un truc.

Cette propriété semble notamment utile pour montrer que tout groupe abélien fini admet un élément d'ordre égal à l'exposant du groupe.