Bornes sup et inf

Sakura
Sakura
dans Analyse
Soit $$A=\big\{\sin\Big(\frac{2\pi n}{7}\Big)\mid n\in \N\big\}.
$$ Comment peut-on trouver la borne sup et inf en utilisant la caractérisation de la borne sup, inf ? Max, min ?
Peut-on dire $$\Big|\sin\Big(\frac{2\pi n}{7}\Big)\Big|<1.$$

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Oui, on peut le dire. Mais est-ce utile ? Vrai ? Et quel rapport avec la caractérisation que tu as en tête ? Développe.

    Cordialement.
  • raoul.S
    raoul.S
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Heptagone#/media/Fichier:Heptagone_coniques(2).svg
  • Sakura
    Sakura
    $$|\sin(\frac{2\pi n}{7})|<1$$ Nous donne : $1$ est un majorant de $A$
    $0 \in A$ (pour $n=0$).

    Donc les bornes supérieure et inférieure de l'ensemble $A$ existent.
    La question que je me pose est-ce que 1 est le plus petit des majorant ? C'est ici que je bloque
    Cordialement.
  • raoul.S
    raoul.S
    Sakura a écrit:
    La question que je me pose est ce que 1 est le plus petit des majorant ?

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Heptagone#/media/Fichier:Heptagone_coniques(2).svg
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    Apprends à connaître ton ensemble.
    Est-il compliqué ? Est-il gros ?

    Le sinus s'encadre entre -1 et 1. Peut-on voir rapidement si l'ensemble atteint l'une ou même les deux bornes avant de faire des choses compliquées ?
  • Gon
    Gon
    Bonsoir,
    On peut même dire que le maximum est atteint en considérant une fonction associée (qui est continue) et de remarquer qu'elle est périodique donc on se ramène à un intervalle puis on utilise le théorème des bornes atteintes (bon j'avoue qu'on peut certainement faire simple)
    On peut utiliser la caractérisation par les suites (si j'en abuse pas)

    Edit: je pensais qu'on naviguait dans $\mathbb{R}$ :-D, comme RLC l'a dit, on peut regarder déjà des valeurs de n qui fournissent des infos
  • Gon
    Gon
    Une piste, on sait que pour tout $x \in \mathbb{R},\ \sin(x)$ est inclus dans $[-1,1]$ donc $A$ est inclus dans $[-1,1]$, ce qui permet déjà de prouver l'existence de la borne supérieure et inférieure de $A$ sachant que $A$ est non vide. Et je reviens sur ce que je disais plus haut : il n'est pas difficile de voir qu'on peut associer une fonction qui admet une période ce qui permettra ici de voir que l'ensemble $A$ est fini.
  • zephir
    zephir
    Bonsoir,
    On peut énumérer $A$ qui comporte $7$ éléments.
    Cordialement,
    zephyr.
  • Sakura
    Sakura
    "on peut associer une fonction qui admet une période" c'est-à-dire la période de $\sin\big(\frac{2\pi n}{7}\big)$ ?
    Mais peut on écrire l'ensemble $A$ explicitement pour $n=1,\, n=2,\ldots $ ??
  • Gon
    Gon
    Bonsoir,
    Regarde la fonction sans la valeur absolue, tu peux déterminer une période de celle-ci .
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