Une relation avec les deux points de Fermat
Bonjour à tous
Je propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle, $ O, F_1, F_2 $ le centre du cercle circonscrit, le 1er point de Fermat, le 2e point de Fermat.
On note :
$\Gamma_{F_1}(\odot (O))$ la puissance de $F_1$ par rapport au cercle circonscrit $\odot (O).$
Montrer que :
$$ \Gamma_{F_1}(\odot (O)) + \Gamma_{F_2}(\odot (O)) = -{F_1F_2}^2.
$$ Amicalement.
Je propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle, $ O, F_1, F_2 $ le centre du cercle circonscrit, le 1er point de Fermat, le 2e point de Fermat.
On note :
$\Gamma_{F_1}(\odot (O))$ la puissance de $F_1$ par rapport au cercle circonscrit $\odot (O).$
Montrer que :
$$ \Gamma_{F_1}(\odot (O)) + \Gamma_{F_2}(\odot (O)) = -{F_1F_2}^2.
$$ Amicalement.
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Réponses
Avec Morley circonscrit: Cordialement,
Rescassol
On a donc $OF_1 ^2 +OF_2^2+F_1 F_2 ^2=2R^2$. Une conséquence géométrique serait bienvenue.
Cordialement, Pierre.
Une figure, quand même !!
Cordialement,
Rescassol
juste pour dire qu'une preuve synthétique est possible...
Sincèrement
Jean-Louis
Bien sûr qu'une preuve synthétique est possible, comme d'ailleurs, je pense, pour tout résultat démontrable autrement dans le même cadre.
Il n'existe pas, à ma connaissance, de résultat géométrique, démontré par une méthode, pour lequel on ait démontré qu'il n'existe pas de preuve synthétique.
D'ailleurs, en l'occurrence, je peux affirmer sans grand risque qu'une preuve barycentrique est possible,
Cordialement,
Rescassol
j'ai toujours pensé qu'un solution synthétique est toujours possible jusqu'au jour de ce problème...
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol64.html
puis
Une conjecture résolue... (par une hyperbole sur l'idée de pappus)...
J'ai posé ce problème sur différents sites... (tour de la planète..)
Ma question est : y a-t-il une limite dans la recherche d'une preuve synthétique ?
ou bien manque-t-il un chaînon synthétique manquant ?
Sincèrement
Jean-Louis
ma preuve...
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol70.html
puis
Une remarquable relation de Telv Cohl.
Sincèrement
Jean-Louis
Une preuve en coordonnées barycentriques: Cordialement,
Rescassol
Amicalement