Moyenne essais statistiques

A l'aide du code suivant, je retrouve également une moyenne empirique proche de $24$ pour un $10000$-échantillon.

import random

def experience():
    k=1
    while random.random()>0.01+0.002*(k-1):
        k+=1
    return k
    
n=100000
s=0
for i in range(0,n):
    s+=experience()
print(s/n)

[color=#FF0000]>> 24.11378[/color]

Bonjour
Effectivement, comme le fait remarquer bisam, c'est assez élémentaire. Je vais peut-être donc préciser nos calculs pour qu'ils soient compréhensibles par quelqu'un qui ne fait pas trop de mathématiques.

La première étape était de fixer quelques notations :
On se donne une suite de variables aléatoires $(X_n)_n$ indépendantes, avec $X_k$ suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p_k=\displaystyle\frac{n+5}{500}$ (pour $k\leq 495$, $1$ sinon). Cela signifie juste que $X_k$ vaut $1$ avec probabilité $p_k$ et $0$ sinon. Pour chaque réalisation de la suite de variables, on note $T$ le plus petit indice $k$ tel que $X_k=1$. On remarque que comme $p_{495}=1$, $T$ sera toujours inférieur à $495$.

La deuxième étape consistait à calculer la loi de $T$, autrement dit, la probabilité que $T$ vaille $n$, pour toutes les valeurs de $n$. Faisons le calcul pour les premiers indices. Pour que le $T$ vaille $0$, il faut que $X_0=1$ :
$$\mathbb{P}(T=0)=\mathbb{P}(X_0=1)=0,01$$
Pour que $T$ vaille $1$ il faut que $X_1$ vaille $1$, mais aussi que $X_0$ vaille $0$ (sans quoi on aurait $T=0$). Ainsi
$$\mathbb{P}(T=1)=\mathbb{P}(X_0=0\text{ et }X_1=1).
$$ On a supposé les $X_n$ indépendants. On peut donc écrire :
$$\mathbb{P}(T=1)=\mathbb{P}(X_0=0)\times \mathbb{P}(X_1=1)=(1-p_0)\times p_1.
$$ De manière générale, pour que $T=n$, il faut que $X_n=1$, et que pour tout $i<n$, $X_i=0$. Encore une fois grâce à l'hypothèse d'indépendance :
$$\mathbb{P}(T=n)=\mathbb{P}(X_0=0)\times \mathbb{P}(X_1=0)\times ...\times \mathbb{P}(X_{n-1}=0)\times \mathbb{P}(X_n=1)=(1-p_0)\times (1-p_1)\times ...\times (1-p_{n-1})\times p_n.
$$ Généralement, on écrit ce produit de manière concise
$$p_n\prod_{k=0}^{n-1}(1-p_k).

$$ La dernière étape consiste à calculer l'espérance. Comme pour une variable aléatoire qui prendrait un nombre fini de valeurs, on doit faire la somme des valeurs $n$ que peut prendre $T$, pondérées par la probabilité $\mathbb{P}(T=n)$ :
$$\mathbb{E}[T]=0\times \mathbb{P}(T=0)+1\times \mathbb{P}(T=1)+\ldots
$$ qu'on écrit à nouveau à l'aide d'un symbole
$$\mathbb{E}[T]=\sum_{n=0}^{+\infty}n\mathbb{P}(T=n).

$$ Comme $T$ ne peut pas valoir $496$, $497$,... (car $X_{495}=1$ avec probabilité $1$), cette somme est finie
$$\mathbb{E}[T]=\sum_{n=0}^{495}n\mathbb{P}(T=n).

$$ On obtient donc la formule annoncée
$$\mathbb{E}[T]=\sum_{n=0}^{495}np_n\prod_{k=0}^{n-1}(1-p_k).

$$ bisam proposait une alternative impliquant les probabilités que $T$ soit supérieur $n$ qui est peut-être plus naturelle avec ce genre de problème.

En espérant que nos formules paraissent moins compliquées comme ça.