Topologie du groupe linéaire
Bonsoir
Est-ce qu'on sait des choses sur la topologie de $GL(E)$ lorsque $E$ est un espace vectoriel normé de dimension infinie ?
Par exemple est-ce qu'il reste ouvert ?
Ce qui m'amène vers une autre question... est-ce que la notion de déterminant se généralise à la dimension infinie ?
Plus précisément est-ce qu'on peut construire une application $D$ de $L(E)$ vers $\R$ (ou $\C$) telle que $D(uv) = D(u)D(v)$ et $D(u) \neq 0$ ssi $u$ est inversible.
Est-ce qu'on sait des choses sur la topologie de $GL(E)$ lorsque $E$ est un espace vectoriel normé de dimension infinie ?
Par exemple est-ce qu'il reste ouvert ?
Ce qui m'amène vers une autre question... est-ce que la notion de déterminant se généralise à la dimension infinie ?
Plus précisément est-ce qu'on peut construire une application $D$ de $L(E)$ vers $\R$ (ou $\C$) telle que $D(uv) = D(u)D(v)$ et $D(u) \neq 0$ ssi $u$ est inversible.
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Réponses
En dimension infinie il peut exister $u$ et $v$ non inversibles tels que $uv$ soit inversible.
En dimension infinie on est dans de l'analyse et non plus de l'algèbre donc mieux vaut limiter ses espoirs.
On entre dans le champ de la théorie des opérateurs. Il faut voir du côté des livres d'analyse fonctionnelle pour avoir des résultats.
Évidemment je me dois comme d'habitude de recommander celui de Daniel Li même s'il ne dédie qu'un chapitre au sujet, il y a quand même des pré-requis pour aller plus loin.
Il doit y avoir des livres de théorie des opérateurs pure qui partent des bases sinon.
La seule théorie que je connaisse est celle des opérateurs compacts (qui en quelque sorte peuvent transformer les bornés en parties d'adhérence compacte et permettent de se ramener à l'intuition de la dimension finie).