Qu'est-ce que l'analyse non-standard ?
Bonjour, j'ai eu un jour dans les mains un livre à la couverture bleu ciel qui traitait de l'analyse non-standard. Je constate que l'intitulé analyse non-standard n'existe dans aucun module de cours universitaire en France, alors j'ai trois questions.
1) Quels sont les fondements axiomatiques de l'analyse non-standard ?
2) Pourquoi n'est-elle pas enseignée en France ?
3) Dans quels pays est-elle enseignée, s'il en existe un ?
1) Quels sont les fondements axiomatiques de l'analyse non-standard ?
2) Pourquoi n'est-elle pas enseignée en France ?
3) Dans quels pays est-elle enseignée, s'il en existe un ?
Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
Henri Poincaré
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Réponses
Pourquoi demander à d'autres ce que tu peux trouver seul ??? Fainéantise ou complexe de toute puissance (*) ?
(*) en général, il disparaît entre 4 et 6 ans.
Sur l'analyse non standard je conseille le livre de Georges Reeb G Reeb :
Sur son relatif faible enseignement à l'université, le problème me semble être qu'elle ne permet pas pour l'instant de
découvrir beaucoup de démonstrations auxquelles l'analyse classique (standard) ne pourrait répondre.
On peut lire sur Wikipédia : Une réflexion pourrait être menée sur l'aspect pédagogique de son enseignement par rapport à celui de l'analyse standard.
Cordialement
Vues tes autres interventions récentes, c'est surtout pour bavarder que tu poses cette question.
Pour revenir à la question, je dirais, pour ce que j'en sais, que l'analyse non standard ne prospère pas.
Partant de là...
Pas sûr du tout que sa conservativite au dessus de ZFC soit la cause de son manque de succès.
Salut à tous, Christophe tu trouves pas que l'ANS est super intuitive. Et que donc pas besoin de s'entrainer beaucoup. Le plus dur est la partie théorique surtout celle de Robinson.
Bonne journée.
Jean-Louis.
Bonjour,
L'autre handicap de l'ANS est le côté affligeant de certaines campagnes de marketing dont elle est l'objet. Si l'on veut de l'intuition, la méthode des fluxions, consistant à faire $k^2=0$ puis à diviser par $k$ est largement meilleure, et appuyée sur une très longue tradition. Si l'on veut des preuves, il faut bien plus que des affirmations à la sauce "intuitivement, on voit bien que". Quant à "le plus dur c'est la théorie", quelle bonne blague ! Si l'on enlève la théorie, il ne reste plus rien... Sur le modèle: "la théorie des groupes sur une cubique, c'est très simple: enlevons la théorie, et il n'y aura plus tellement besoin de s'exercer.
Cordialement, Pierre
Jean-Louis tient à nous faire savoir qu'il ne comprend pas très bien pourquoi sa tentative de publicité pour l'Analyse Non Standard est affligeante. Bon, ben voilà, il ne comprend pas très bien. De toutes façons, le plus dur, c'est la théorie.
Cela devait sûrement être dit.
Cordialement, Pierre.
Sachant qu'en plus l'analyse non-standard n'est pas plus puissante que la version standard, on voit vite pourquoi peu de gens s'y intéressent et l'utilisent.
Jean-Louis.
Angles corniculaires et nombres superréels par J. Bair et V. Henry montre à quel point définir les angles corniculaires par le développement de Mac Laurin de la fonction d’estimation des dits angles est une approche intuitive vers la notion de nombres infinitésimaux. De toutes façons, le plus dur c'est la théorie: une fois que l'on a les séries de Laurent, le reste va plus vite.
Mais l'analyse étudie aussi les nombres complexes (ex: analyse de Fourier, analyse complexe), et on peut faire avec $\Bbb R$ et $\Bbb C$ pas mal d'algèbre. Je dirais plutôt que l'analyse est l'étude (rigoureuse) des différentes formes d'approximations infinitésimales. "Rigoureuse" par opposition avec l'analyse à la physicienne. Ça inclut les limites, les dérivées, les intégrales et tout ce qui en découle : classes de régularité de fonctions, équa diffs, séries, etc. Pour l'algèbre, je ne n'oserai pas me prononcer à la place d'un algébriste.
De toute façon, pour ces choses, toute définition a ses limites $-$ je suis sûr que tu seras d'accord Foys $-$ et certains ne seront probablement pas satisfaits par ma définition.
Cela étant tu as tout à fait raison quand tu dis que toute définition à ses limites (surtout pour ces sujets: il n'y a pas plus flou que les frontières entre les différents domaines des maths. Que penser par exemple de cette discipline: https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_alg%C3%A9brique fortement consommatrice d'outils cohomologiques/faisceautiques ?), j'espère que mon message n'était pas perçu comme trop autoritaire.
Non, ne t'inquiètes pas.
Si l'analyse non standard ne sert que de caution pour tout ce qui n'est pas assez formalisé en analyse standard, pourquoi ne pas considérer que c'en est une extension dont la seule raison d'être est de formaliser l'analyse standard.
Après, pour le fait que cela ne donne rien de plus que l'analyse standard, il me semble que c'est un peu le serpent qui se mord la queue : pour pouvoir étudier tout ce que pourrait apporter l'analyse non standard en plus, il faudrait l'étudier, et dans cette époque utilitariste, étudier quelque chose qui n'apporte rien à priori est relativement mal perçu.
À bientôt.
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On part d'une famille de droites $\Delta(\nu)$ dépendant de façon rationnelle d'un paramètre unimodulaire $\nu$. On trouve le point mobile de l'enveloppe en coupant par la droite $\Delta(\nu\, \tau)$. Comme de juste, la quantité $\tau-1$ vient se mettre en facteur. On supprime ce facteur et on fait $\tau=1$. Et voilà, c'est fini.
Comme on le voit, le super-proche est super-intuitif.
Cordialement, Pierre.