Calcul de limite
Bonjour,
Je suis de niveau lycée.
Je suis bloqué sur le problème suivant.
lim quand a tend vers 1/2 de (2x²-3x+1)/cos(pi*x)
On retrouve une forme indéterminée.
J'ai tenté de faire disparaître le cos(pi*x) en l'écrivant sous la forme cos((pi-1)x+x) mais cela ne m'a mené à rien.
J'ai aussi essayé de transformer cos(pi*x)=sin(pi*x)/tan(pi*x), mais je me retrouve avec la forme indéterminé 0*infini.
Maintenant, je ne sais pas trop quoi faire donc je cherche une personne pour me donner un coup de pouce.
Merci d'avance.
Je suis de niveau lycée.
Je suis bloqué sur le problème suivant.
lim quand a tend vers 1/2 de (2x²-3x+1)/cos(pi*x)
On retrouve une forme indéterminée.
J'ai tenté de faire disparaître le cos(pi*x) en l'écrivant sous la forme cos((pi-1)x+x) mais cela ne m'a mené à rien.
J'ai aussi essayé de transformer cos(pi*x)=sin(pi*x)/tan(pi*x), mais je me retrouve avec la forme indéterminé 0*infini.
Maintenant, je ne sais pas trop quoi faire donc je cherche une personne pour me donner un coup de pouce.
Merci d'avance.
Mots clés:
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Si tu as la règle de l'Hospital dans ton cours, c'est immédiat..
Cordialement.
$$
\frac{-\varepsilon + \varepsilon^2}{-\sin(\pi\varepsilon)},
$$
puis regarder le comportement quand $\varepsilon$ tend vers $0$. Si tu sais que $\lim_{x\to 0} \sin(x)/x$ existe et vaut $1$, tu peux conclure que la limite que tu cherches existe et vaut $1/\pi$.
Merci pour vos réponses.
J'ai utilisé la technique de l'Hospital et effectivement c'est immédiat. Par la suite j'ai voulu tester le changement de variable x= 1/2+eps (eps=epsilon)
Avec ce changement de variable on retrouve donc la forme:
((-eps)+(eps)²)/-sin(pi.eps)
= (eps(eps-1))/-sin(pi.eps)
Maintenant je cherche un moyen de retrouver une forme:
eps/sin(eps).(eps-1)/-pi
= 1.(eps-1)/-pi
Et lorsque qu'epsilon tend vers 0 on retrouve bien 1/pi. Mon problème et que je ne trouve pas la méthode pour passer de l'étape (2) à la (3).
Je cherche une personne pour me débloquer, merci d'avance.
$$
\frac{-\varepsilon + \varepsilon^2}{-\sin(\pi\varepsilon)}= \frac{1}{\pi}\frac{(\pi\varepsilon)}{\sin(\pi\varepsilon)}-\frac{1}{\pi^2}\frac{(\pi\varepsilon)^2}{\sin(\pi\varepsilon)}
$$
De $\lim_{x\to 0} x/\sin(x)=1$, on déduit que $\lim_{x\to 0} x^2/\sin(x)=0$ (si $f$ et $g$ on un limite en $0$, $fg$ a aussi une limite, qui est le produit des limites de $f$ et de $g$).
Donc le premier terme a pour limite $\frac{1}{\pi}$, et le deuxième a pour limite $0$.
\[\frac{-\varepsilon + \varepsilon^2}{-\sin(\pi\varepsilon)} = \dfrac{1-\varepsilon}{\pi}\times \dfrac{\pi\varepsilon}{\sin(\pi\varepsilon)}.\]
Si tu es au lycée la règle de l’Hospital n’est pas au programme (ou alors j’ai encore raté quelque chose) (ton ’’niveau lycée" n’est pas très clair).
Cordialement.
Et surtout d'accord avec biely. Un questionneur a tout intérêt à préciser exactement quel domaine de connaissances est requis pour traiter son problème.
Tout à fait d'accord.
C'est d'ailleurs quelque chose que l'on répète depuis des années, et ça ne semble pourtant pas bien entrer dans les mœurs de ce forum.
Effectivement la règle de l'[large]H[/large]ôpital n'est pas de mon programme, je prends juste un peu d'avance.
J'ai un autre question à poser concernant ce calcul de limite :
(a²-x²)/cos((pi.x)/(2.a)) quand a appartient à R*
J'ai réussi à la calculer en utilisant la méthode de l'[large]H[/large]ôpital mais j'aimerais savoir si une personne connaît une autre méthode pour calculer cette limite.
Merci d'avance.
[Guillaume de l'Hôpital (1661-1704) prend toujours une majuscule. AD]
Cos(a) =cos(2.a/2)=1-2 sin(a/2)^2
Cordialement.
Merci beaucoup pour vos réponses.
J'ai continué d'utiliser la technique des développements limités sur un autre exercice afin de mieux la comprendre. Mais sur l'exercice sur lequel je suis je ne trouve pas comment trouver la solution avec la technique des développements limités.
Voici l'exercice:
Calculer si elle existe, la limite de la fonction quand x tend vers pi/6
f(x)=(sin(pi/3-2x))/1-2sinx
Je cherche une personne qui pourrait me débloquer, cela m'aiderait énormément. Merci d'avance.
Commence par faire le changement de variable $\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+h$.
Merci de vos réponses.
J'ai une nouvelle question sur laquelle j'ai des difficultés:
Calculer la limite de x*E(1/x) quand a= +infini
x--> E(x) désigne la fonction partie entière
Je me suis renseigné sur la notion de fonction partie entière et j'ai essayé de trouver la limite mais j'ai vraiment du mal à trouver une piste exploitable. Donc si une personne veut bien m'aider cela m'aiderait beaucoup.
Merci d'avance.
De même Stolz-Cesaro très utile pour les limites de suites numériques.
Merci pour vos retours la dernière fois.
J'ai une nouvelle difficulté avec des valeurs absolues.
On a la fonction Vn= U(n+1)/Un et V(n+1)= 1+1/x
U(n+2)=U(n+1)+Un , U(0)=0 et U(1)=1
On sait que V(n+1)-a=(1/(Vn*a))*(a-Vn) (1)
Avec a=(1/2)*(1+5^(1/2))
On doit en déduire la forme
|Vn-a|《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|
J'ai fait plusieurs test avec n=1;2 et 3 afin de garder V(1) (en partant de la formule (1)) et j'en déduis cette forme
V(n+1)-a= (1/a)^(n)*(1/(Vn*V(n-1)*...*V(1)))*(-1)^(n-2)*(V(1)-a)
Mais à partir d'ici je me trouve bloqué car je ne vois pas comment avoir une inégalité et les deux valeurs absolues. Si vous avez une idée pour me décoincer je suis preneur.
U(n+2)=U(n+1)+Un , U(0)=0 et U(1)=1"
On définit aussi la suite U(n) des nombres de Fibonacci par les formules: U(0)=0 et U(1)=1 et U(n+2)=U(n+1)+U(n).
La question est que l'on veut déduire de l'égalité : V(n+1)-a=1/(V(n)*a)*(a-V(n))
Voilà, encore désolé pour mon message précédent, j'espère que cela est plus clair pour vous et sinon n'hésitez pas à me le signaler. Je vous remercie d'avance.
Cordialement.
Concernant l'écriture où vous aviez un doute, c'est bien celle-ci.
J'ai testé sur l'égalité (1) avec n=1; n=2 et n=3 et j'ai réinjecté les écritures pour n=1 et n=2 dans n=3 afin de garder V(1).
J'ai trouvé ceci :
V(4)-a= (1/(V(3)*V(2)*V(1)))*(1/a)^(3)*(a-V(1))*(-1)*(-1).
Qu'en pensez-vous ?
Cordialement.
Merci de m'avoir répondu la dernière fois.
J'ai avancé sur le problème et je me retrouve bloqué. J'ai exprimé dans le cas général l'égalité (1) en faisant apparaître V(1):
V(n+1)-a= (1/a)^(n)*(1/(Vn*V(n-1)*...*V(1)))*(-1)^(n-2)*(V(1)-a)
Ensuite j'ai essayé de la transformer pour avoir V(n)-a=... mais je n'ai pas réussi. Après cela j'ai pris l'inégalité du problème et essayé la récurrence afin de l'exprimer en fonction de V(n+1). Mon problème est que je n'arrive pas à faire le lien entre l'égalité (1) et l'inégalité. Je cherche un moyen de faire apparaître l'égalité (1) dans l'inégalité afin de retrouver la même forme mais avec V(n+1).
J'ai essayé d'exprimer mon problème de façon claire même si cela reste encore un peu flou pour moi. Désolé de vous solliciter encore.
Cordialement.
Je vais regarder pour la piste que vous m'avez donnée et donner l'énoncé complet.
U(0)=0 U(1)=1 et U(n+2)=U(n+1)+U(n)
1. Dresser un tableau des valeurs de U(n) allant de 0 à 10.
2. Montrer que U(n+5)=5*U(n+1)+3*U(n)
3. En déduire qu'il y a une infinité de nombres de Fibonacci qui sont multiples de 5.
4. Démontrer par récurrence les deux relations suivantes
-∑(avec n au dessus et i=0 en dessous du symbole)U²(i)=U(n)*U(n+1)
-U²(n+1)=U(n)*U(n+2)+(-1)^(n)
B.
On définit la suite V(n) par la formule
V(n)=U(n+1)/U(n)
Et on considère la fonction auxiliaire f définie sur R*+ par x-->1+1/x
1. Montrer directement que pour tous n∊N* on a
V(n+1)=f(Vn)
2.Conjecturer la limite de V(n) en construisant V(2) V(3) et V(4) à l'aide du graphe de f.
3. On pose a=1/2*(1+5^(1/2)). Vérifier que f(a)=a. Démontrer que pour tous n∊N* on a:
V(n+1)-a=1/(V(n)*a)*(a-V(n))
4. En déduire:
|V(n)-a|《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|
5.Conclure
Voilà tous l'énoncé. Ma question est la 4 B.
Bonjour,
Je suis élève de seconde et je me retrouve en difficulté sur ce problème, plus précisément à la question 4 B.
A. On définit la suite U(n) des nombres de Fibonacci par les formules :
U(0)=0 U(1)=1 et U(n+2)=U(n+1)+U(n)
1. Dresser un tableau des valeurs de U(n) allant de 0 à 10.
2. Montrer que U(n+5)=5*U(n+1)+3*U(n)
3. En déduire qu'il y a une infinité de nombres de Fibonacci qui sont multiples de 5.
4. Démontrer par récurrence les deux relations suivantes
-∑(avec n au dessus et i=0 en dessous du symbole)U²(i)=U(n)*U(n+1)
-U²(n+1)=U(n)*U(n+2)+(-1)^(n)
B.
On définit la suite V(n) par la formule
V(n)=U(n+1)/U(n)
Et on considère la fonction auxiliaire f définie sur R*+ par x-->1+1/x
1. Montrer directement que pour tous n∊N* on a
V(n+1)=f(Vn)
2.Conjecturer la limite de V(n) en construisant V(2) V(3) et V(4) à l'aide du graphe de f.
3. On pose a=1/2*(1+5^(1/2)). Vérifier que f(a)=a. Démontrer que pour tous n∊N* on a:
V(n+1)-a=1/(V(n)*a)*(a-V(n))
4. En déduire:
|V(n)-a|《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|
5.Conclure
J’ai avancé sur cette question en utilisant la récurrence comme me l’a conseillé @gerad0. D’ailleurs, j’aimerais savoir comment Monsieur gerad0 vous avez pensé à utiliser la récurrence ? Car je ne trouve pas toujours évident de savoir quel type de méthode employer.De plus je cherche aussi un éditeur d'équation qui est accepté sur ce forum si quelqu'un peut m'éclairer cela m'aiderait ?
Voilà ce que j’ai commencé à faire :
1-Initilaisation
V(1)= 1
Donc
|V(1)-a|《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|
est vraie au rang 1
2- On suppose vraie
|V(n)-a|《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|
3- On démontre que cette propriété est vraie au rang n+1
On sait que
V(n+1)-a=1/(V(n)*a)*(a-V(n))
<--> V(n)=(a-V(n))/((V(n+1)-a)*a)
Et on sait aussi que V(n) ⩾1
Donc
V(n) ⩾1
(a-V(n))/((V(n+1)-a)*a) ⩾1
a-V(n)⩾(V(n+1)-a)*a
(a-V(n))/a⩾ V(n+1)-a
On reprend la propriété supposée vraie dans la partie 2-
|V(n)-a|《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|
(-1)*(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|《V(n)-a《(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|
(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|⩾V(n)-a⩾(-1)*(1/a)^(n-1)*|V(1)-a|
(1/a)^(n)*|V(1)-a|⩾(V(n)-a)/a⩾(-1)*(1/a)^(n)*|V(1)-a|
On utilise cette forme dans la formule précédente
(1/a)^(n)*|V(1)-a|⩾ V(n+1)-a
Ici j’ai montré une partie de l’encadrement pour pouvoir avoir la valeur absolue de |V(n+1)-a| .
Il faut encore que je montre que
V(n+1)-a ⩾(-1)*(1/a)^(n)*|V(1)-a|
Et c’est à ce moment que je me retrouve bloqué, il me faudrait une autre inégalité mais je ne voie pas laquelle.
Pouvez-vous me donner un autre indice ?
Cordialement.
Merci pour votre réponse cela m'a bien aidé. J'aimerais juste vous demander, comment avez-vous pensé à utiliser la récurrence ?
Maintenant j'ai un nouveau problème
Bonjour
Je suis bloqué sur un calcul de limite comportant des fonctions trigonométriques. Ce n’est pas la première fois que ce genre de calcul me pose des difficultés plus particulièrement ceux où l’on a une forme du type : $\ \sin(a/b) $
Le problème est le suivant : calculer la limite quand x tend vers a de
$ \sin(\pi/x)\sin(\pi/(1-x)) $
Avec $a=0$
On a ici une forme indéterminée 0/0
Pour commencer j’ai utilisé la formule
$ \sin(a)\sin(b)= ½(\cos(a-b)-\cos(a+b)) $
Mais finalement cela ne m’a pas aidé à trouver un moyen de faire disparaître cette forme indéterminée.
Je me suis par ailleurs posé la question d’un éventuel changement de variable mais je n’arrive pas à voir lequel.
Je me demande donc s’il n’y aurait pas une méthode, une façon de faire spécifique permettant de résoudre ce type de calculs de limite ?
Merci d’avance.
Cdlt Cordialement
J'ai avancé sur cet exercice en cherchant à exprimer les expressions sous forme de suites comme vous me l'avez conseillé.
J’ai appelé U(n) la suite correspondant à l’expression 1+1/(1+1/(1+...))
Et V(n) la suite correspondant à l’expression √(1+√(1+...)).
J’ai défini U(n) comme cela :
$ U(n+1) = f(U(n)) $
Avec $ f(x) = 1/(1+x) $
et V(n) comme cela :
$ V(n) = g(V(n)) $
Avec $ g(x) = \sqrt{1+x}. $
J’ai donc maintenant utilisé la récurrence en cherchant à montrer que
$ U(n) = V(n) ⇒ U(n+1) = V(n+1) $
Je suis donc partie de U(n) = V(n) et après plusieurs transformations, je me retrouve bloqué avec l’égalité :
$ V(n+1) = 1/\sqrt{U(n+1)}. $
J’aimerais savoir si ma façon d’exprimer les expressions sous forme de suite est correcte et si oui pourquoi je me retrouve bloqué.
Merci d’avance
Cordialement.
Mais quel est ton niveau, Ily ? Tu es en seconde à l'étranger ? Tu es en France mais tu aimes les maths et tu prends de l'avance ? En donnant ces précisions, les participants seront plus à même de te donner des réponses qui te satisferont.
Bonjour
Merci pour vos réponses, je vais mettre au claire mon niveau de seconde :
je suis en seconde en France, j’aime les mathématiques et souhaite prendre de l’avance.
J’ai ici un nouveau problème qui est similaire avec un ou j’avais déjà demandé de l’aide, le voici.
Soit la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ définie par la formule : $ f(x) = 1/(1+2x) $
On considère la suite $U(n)$ définie par
$U(0) = 1$ et $U(n+1)=f(U(n))$
1. Démontrer la relation
Pour tout $n$ appartenant à $\N,\ U(n+1)-1/2 = 1/(1+2u(n))(1/2-U(n)) $ (1)
2. a) Montrer par récurrence qu’on a
Pour tout $n$ appartenant à $\N,\ 1/3 ≤ U(n) ≤ 1 $ (2)
b) Déduire des relations (1) et (2) l’inégalité suivante
Pour tout $n$ appartenant à $\N,\ |U(n+1)-1/2|≤ 3/5|U(n)-1/2| $.
Je me retrouve en difficulté face à la question 2 ; b). J’ai dans un premier temps tenté d’utiliser la récurrence en m’inspirant de l’exercice plus haut dans la conversation avec une forme similaire. Mais cela ne m’a mené à rien… J’ai après pensé à utiliser la récurrence à deux pas mais cela ne m’a pas aidé. J’ai tenté par la suite de retrouver la forme demandée sans utiliser la récurrence, juste en injectant la formule (1) dans la (2). Mais là aussi je ne trouve pas.
Je cherche une piste pour me sortir de cette impasse,
Merci d’avance
Cordialement.
J'ai avancé sur ce problème et j'ai trouvé quelque chose:
Déjà j'ai redéfini mes suites:
U(n):
U(n+1)=f(U(n)) et U(0)=1
Avec f(x)=1+1/x
V(n):
V(n+1)=g(V(n)) et V(0)=0
Avec g(x)= (1+x)^(1/2)
J'évalue après la limite de chacune des suites:
Lim U(n)= l
n-->+infinie
Lim U(n+1)= l
n-->+infinie
Donc
Lim U(n)=Lim f(Un)
n-->+infinie n-->+infinie
Je cherche donc le l qui répond à cette équation:
l=1+1/l
Je me retrouve avec le polynômes
l²-l-1=0
Qui admet de racine.
Et avec le même raisonnement sur V(n) je retrouve le même polynômes et donc les mêmes racines.
Je voulais donc savoir si cela démontre bien l'égalité de l'énoncé.
Merci d'avance
Cdlt