Polynôme en une matrice diagonalisable

Bonsoir, je sais qu'une somme de matrices diagonalisables n'est pas forcément diagonalisable, mais si j'ai une matrice diagonalisable $A$ et une matrice $B = Q(A)$ où $Q \in \mathbb K[X]$, est-ce que $B$ est diagonalisable ?

Est-ce que c'est parce que $A = P^{-1}DP$ donc $B = P^{-1} Q(D)P$ avec $P$ une matrice de passage et $D$ diagonale ?

Cette question vient de l'exercice suivant : si $a,b,c,d \in \mathbb C$, montrer que $A = \begin{pmatrix}
0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0
\end{pmatrix}$ et $B= \begin{pmatrix}
a&d&c&b \\b&a&d&c\\c&b&a&d\\d&c&b&a
\end{pmatrix}$ sont diagonalisable sur $\mathbb C$. Comme $A$ est une matrice compagnon, on a son polynôme caractéristique : $X^4 - 1$. Donc $Card(Sp(A)) = \dim(\mathbb C^4)$ et $A$ est diagonalisable. On remarque que $B = bA+cA^2+dA^3+aA^4$.