Algèbre et analyse

Bonjour Sn

le terme "surplomber" n'est pas le bon, à propos de la position de l'analyse par rapport à l'algèbre,
il vaut mieux dire : l'analyse prolonge l'algèbre en introduisant l'infini et l'infinitisimal dans les travaux mathématiques

Le mot algèbre vient de l’Arabe Al Jabr qui veut dire assemblage, réduction, mise en ordre, résolution.
Le mot algorithme vient du patronyme Al Khwarismi, mathématicien perse qui vers 800 après JC perfectionna l’algèbre
et en particulier la récurrence dont l’algorithme n’est qu’une forme. L'introduction du zéro d'origine indienne est une étape décisive.
Les Arabes ont inventé l’algèbre en même temps que la trigonométrie.
Ils ont reçu l’héritage des Grecs (Diophante) et des Indiens (Aryabatta) et l’ont transmis à l’Occident après l’avoir enrichi et valorisé.
Les Italiens Fibonacci, Cardan, Tartaglia et Bombiéri, les Français Oresme, Chuquet, Viète, Descartes, et d’Alembert ont fixé l’algèbre moderne
qui intégrera plus tard le calcul matriciel mis au point par les Anglais Sylvester et Cayley
ainsi que l’Irlandais Hamilton avec la contribution du Russe Markov élève de Tchebychev.

On pourra considérer l’analyse comme la prolongation de l’algèbre avec l’étude des limites d’expressions et lorsque le domaine incorpore l’infini.
Historiquement l’analyse est effectivement apparue dans le prolongement des études algébriques.
Il est évident qu’entre algèbre et analyse il existe des liens importants : l’algèbre utilise des théorèmes démontrés grâce à l’analyse
(les formules d’Euler par exemple entre exponentielle et fonctions circulaires) et l’analyse utilise des résultats de l’algèbre
(pour le calcul intégral par exemple).
D’autre part la finalité de l’algèbre et de l’analyse est la même : il faut obtenir un résultat numérique la plupart du temps.
En ce sens parler d’analyse fonctionnelle ou analyse numérique est un pléonasme. L’analyse est forcément fonctionnelle et forcément numérique, l’algèbre elle, est linéaire ou fonctionnelle, numérique dans les deux cas. On constate bien d’ailleurs la complémentarité algèbre analyse dans la résolution de l’équation du troisième degré : le discriminant est obtenu par calcul analytique des extrema de la fonction correspondante, mais les racines réelles et complexes sont déterminées par calcul de radicaux ou de rapports trigonométriques.
Il y a malgré tout une différence d’esprit entre les deux disciplines : l’algébriste (personnifié par Descartes) fait des raisonnements simples pour démontrer des propriétés rigoureuses même si le résultat est modeste. L’analyste (personnifié par Euler) est plus ambitieux.
Il veut démontrer des propriétés plus riches mais plus compliquées par des procédés parfois moins rigoureux.

Le mot analyse vient du grec « analusis » c’est-à-dire décomposition, distinction. C’est le sens habituel du mot français « analyse » (opposée à synthèse) qui s’applique aussi bien aux sciences sociales qu’aux sciences physiques et lorsque Descartes crée la géométrie analytique, il propose l’étude point par point des figures géométriques et non plus seulement l’étude globale, la géométrie synthétique.
Mais plus tard à partir des années 1680 le mot analyse a pris une signification particulière complémentaire de celle de l’algèbre.
L’analyse est l’étude des relations élaborées (sophistiquées pourrait-on dire) entre grandeurs, qui interviennent sous forme d’opérations en nombre infini (par exemple les séries) ou sous forme de limite (par exemple dérivation et intégration).

En ce sens on peut dire que l’analyse est née avec Newton et Leibniz qui établissent conjointement en 1674 (mais l’Anglais avait fait sa découverte 17 ans auparavant) les « fluxions » pour le premier, les « différentielles » pour le second, c’est-à-dire la dérivation qui n’est qu’une forme particulière et importante de la recherche des limites, même si cette notion de limite était connue intuitivement depuis l’Antiquité (en particulier d’Archimède).

C’est cette performance et cette puissance dans les résultats qui ont fait de l’analyse la reine des mathématiques, et lui a permis de rayonner dans toutes les disciplines scientifiques, de la sociologie à la médecine, de l’économie à la biologie, de la physique à l’informatique en leur fournissant des outils et instruments incomparables.

L'opinion de Lagrange mathématicien français proche d'Euler sur l'analyse n'est pas surprenante en ce 18ème siècle riche en travaux analytiques, elle reste d'actualité même si la recherche purement algébrique a prospéré au 20ème siècle.

Cordialement