Exercice éléments propres

Bonjour, je suis sur un petit exercice sur lequel on prend $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$. On prend $u$ l'application qui à $f \in E$ associe la fonction $F$ définie sur $]0,1]$ par $F(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f(t)dt$ et $F(0) = f(0)$. On demande de déterminer les éléments propres de $u$.

D'abord, j'ai montré que $u$ est bien un endomorphisme de $E$ en vérifiant la continuité en $0$.
Ensuite, j'ai montre que si $f$ est un vecteur propre de $u$ associé à $\lambda \neq 0$, $f$ vérifie l'équation différentielle sur $]0,1]$ suivante : $$\lambda x f'(x) + (\lambda-1)f(x) = 0$$ ce qui donne que $f \in V_{\lambda} = < x \mapsto x^{\frac{1}{\lambda}-1} >$.
Réciproquement, soit $\lambda \neq 0$ et $f \in V_{\lambda}$. Alors, $\exists A \in \R, f = A x^{\frac{1}{\lambda}-1}$. Vérifions que $f$ est bien vecteur propre de $u$ : $$\forall x \in ]0,1], u(f)(x) = \frac{A}{x} \int_0^x t^{\frac{1}{\lambda}-1} dt = \frac{A}{x} \frac{x^{\frac{1}{\lambda}-1+1}}{\frac{1}{\lambda}-1 +1} = \lambda f(x)$$ Ainsi $f$ est bien vecteur propre de $u$ mais il n'est pas associé à $\lambda$ mais à $\lambda'$.
Ainsi je n'arrive pas trop à définir les éléments propre de $u$... Les $f$ dans $V_{\lambda}$ sont bien des vecteurs propres mais ils ne sont plus associés à $\lambda$.
De même, je ne vois pas bien les valeurs propres.