Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)
Somme des entiers
dans Arithmétique
Bonjour,
Comment prouver que la moyenne de $1, 2, ..., n$ est $(n+1)/2$, de façon à pouvoir écrire $1 + 2 + ... + n = n.(n+1)/2$ sans qu'il y ait raisonnement circulaire ?
A+
Comment prouver que la moyenne de $1, 2, ..., n$ est $(n+1)/2$, de façon à pouvoir écrire $1 + 2 + ... + n = n.(n+1)/2$ sans qu'il y ait raisonnement circulaire ?
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Réponses
Puis on écrit à nouveau tous les nombres de 1 à n sur une 2ème rangée, mais du plus grand au plus petit.
Sur chaque colonne, on a une somme de n+1
Et on a n colonnes. Donc la somme de tout ça est n*(n+1).
Donc dans chaque ligne,la somme est n(n+1)/2, et donc la moyenne des termes de chaque ligne est (n+1)/2
$$\sum_{k=1}^n k = P(n+1)-P(1) = \frac{n(n+1)}{2}.$$
Je cherche une preuve autre qu'une resucée de la preuve classique (dixit Math Coss).
Sans aller chercher les barycentres ou l'astuce de Gauss, pourquoi la moyenne d'un ensemble d'entiers consécutifs est-elle la demi-somme des extrêmes ?
A+
-- Schnoebelen, Philippe
Par exemple : somme des nombres de $9$ chiffres en base $\textrm{dix}=9+1$, s'écrivant chacun avec tous les chiffres de $ 1$ à $9$, chaque chiffre pris une fois dans chacun des nombres, par exemple $528~947~631$, qui sont au nombre de $9!$.
On peut le prouver par récurrence :
-- moyenne de $\{1, 2\} = (1+2)/2$
-- si moyenne de $\{1, ..., n\} = (1+n)/2$, alors
moyenne de $\{1, ..., n, n+1\} = (n.(n+1)/2 + (n+1))/(n+1) = (n+2)/2 = ((n+1) + 1)/2$.
A+