Trois centres alignés
dans Géométrie
Bonjour à tous,
Je vous propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle. La médiatrice de $BC$ coupe les droites $AB$ et $AC$ en les points $A_1$ et $A_2$ qui se trouvent respectivement à l'intérieur et à l'extérieur du cercle circonscrit à $ABC$, et les points $B_1$, $B_2$, $C_1$ et $C_2$ sont définis de même, respectivement sur les médiatrices de $AC$ et de $AB$. Soit $O_1$ et $O_2$ les centres des cercles circonscrits aux triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$.
Montrer que la droite $O_1O_2$ passe par le centre du cercle circonscrit à $ABC$.
Bien cordialement, $JLB$
Je vous propose ce problème.
Soit $ABC$ un triangle. La médiatrice de $BC$ coupe les droites $AB$ et $AC$ en les points $A_1$ et $A_2$ qui se trouvent respectivement à l'intérieur et à l'extérieur du cercle circonscrit à $ABC$, et les points $B_1$, $B_2$, $C_1$ et $C_2$ sont définis de même, respectivement sur les médiatrices de $AC$ et de $AB$. Soit $O_1$ et $O_2$ les centres des cercles circonscrits aux triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$.
Montrer que la droite $O_1O_2$ passe par le centre du cercle circonscrit à $ABC$.
Bien cordialement, $JLB$
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Réponses
Avec Morley circonscrit: Cordialement,
Rescassol
Le même en barycentriques: Cordialement,
Rescassol
Y a-t-il des points intérieurs au triangle, autres que le centre du cercle circonscrit, pour lesquels on retrouve ce résultat ?
Avec un point P intérieur au triangle, les trois perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés du triangle, et les six points définis comme dans mon premier message ?
Je n'ai pas l'impression qu'il en existe, quand je fais bouger un tel point P "à la souris", ça ne semble pas coller ...
Avec un point extérieur au triangle, il ne me semble pas possible de définir les six points aussi simplement ...
Bien cordialement, JLB
J'ai obtenu le lieu des points $P$ tels que $P,O_1,O_2$ soient alignés, mais c'est une sextique dont l'équation comporte environ $4000$ caractères en Morley circonscrit, je verrai demain après-midi si je parviens à la faire digérer par Géogébra.
Cordialement,
Rescassol
une preuve synthétique ?
Sincèrement
Jean-Louis
Je vous avoue que j'espérais que vous en auriez une dans votre "encyclopédie du triangle" !
Mais si c'est un problème original, vous pourriez peut-être le proposer sur un autre site, pour voir ?
Je vais essayer de voir ce que ça donne avec le centre du cercle inscrit, serait-il sur la sextique indiquée par Rescassol ?
Bien cordialement $JLB$
Edit 1 : voici "ce que ça donne" ! Apparemment, ça ne fonctionne pas pour I ...
Edit 2 : ... pas plus que pour G ...
Edit 3 : ... ni pour le centre du cercle d'Euler N !
Ouf !!!! On peut bouger $P$ sur la sextique dans le ggb.
Cordialement,
Rescassol
Mais je regrette de devoir te dire que la figure ci-dessus ne correspond pas à mon énoncé : les deux cercles $(O_1)$ et $(O_2)$ que tu as tracés ne correspondent pas à ce que j'ai défini: avec un point $P$ à l'intérieur du triangle comme tu l'a figuré, le cercle $(O_1)$ passe par les trois points situés à l'intérieur des côtés du triangle, ce qui n'est pas le cas sur ta figure, ou $(O_1)$ passe par $A_1$, $B_2$ et $C_1$ ...
C'est ce qui explique le caractère asymétrique de ta sextique, où le point $B$ est privilégié ...
Bien cordialement,$JLB$
J'ai seulement appliqué une permutation circulaire à ta première phrase:
> La médiatrice de $BC$ coupe les droites $AB$ et $AC$ en les points $A_1$ et $A_2$.
Je n'ai pas tenu compte de intérieur/extérieur.
Ensuite, le point $B$ n'est pas toujours privilégié, fais bouger $A,B,C$ sur mon dessin, tu verras. Sur ma figure, $B$ est opposé au plus long côté du triangle $ABC$.
Cordialement,
Rescassol
Il est certain que quand le point $P$ est suffisamment loin du triangle, les perpendiculaires issues de $P$ aux droites portant les côtés du triangle ne traversent pas celui-ci ...
Mais dans mon esprit, pour la situation des points d'intersection, la distinction intérieur/extérieur des côtés est importante, car je m'intéresse précisément à ces points d'intersection des médiatrices et des côtés autres que les milieux de ceux-ci.
Il faut donc, je pense, limiter la zone accessible à $P$, peut-être à l'hexagone formé par les trois couples de droites perpendiculaires aux côtés du triangle en les sommets de celui-ci ...
Bien cordialement, $JLB$
Je viens d'essayer de voir ce qu'il en est avec le point de Nagel et le point de Gergonne : cela ne marche pas !
Bien cordialement $JLB$
Edit : et pour le point de Lemoine non plus ...
Il semble donc que ce soit une propriété spécifique des médiatrices du triangle ...
Un autre cas de figure ...
Bien cordialement, $JLB$