Fonction à plusieurs variables
Bonjour à tous
Voici mon exercice.
Soit f : IR³ --> IR une fonction s'annulant en (0,0,0) et dont on connaît le développement limité d'ordre 2 centré en ce point. Quel est le développement limité centré à l'origine de la fonction (x,y,z) |--> exp(xy).f(x,y,z)
Je n'arrive pas à démarrer cet exercice, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider. Merci à vous.
Voici mon exercice.
Soit f : IR³ --> IR une fonction s'annulant en (0,0,0) et dont on connaît le développement limité d'ordre 2 centré en ce point. Quel est le développement limité centré à l'origine de la fonction (x,y,z) |--> exp(xy).f(x,y,z)
Je n'arrive pas à démarrer cet exercice, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider. Merci à vous.
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Réponses
Merci à vous.
$$g(x+h,y+k,z+l)=e^{xy}\big(1 + yh + xk + \frac{1}{2} y^{2}h^{2} + \frac{1}{2} x^{2}k^{2} + (1 + xy)hk\big) + O(||h,k,l||^{3})\times \\
\qquad \times\big(f(x,y,z) + a_{1}h + a_{2}k + a_{3}l + b_{1,1}h^{2} + b_{1,2}hk + \cdots+ b_{3,3}l^{2} + O(||h,k,l||^{3})\big).
$$ Et on a un "vrai" produit à manipuler (les $o$ ou $O$ peuvent être écrits autrement si on y voit des notations effrayantes).
(Je me suis pris à vouloir faire les calculs parce que ça faisait un moment que je ne m'étais pas entraîné à ça, désolé.
Il y a une notation compacte pour les termes d'ordre 2 de la parenthèse de droite au fait ?).
Personnellement je préférerais quand même calculer directement les dérivées de $g$.
Edit : merci beaucoup AD
Mais le DL en 0 de exp(xy) n'est heureusement pas 0 (ou plutôt 1 comme je pense que tu voulais le dire).
Pour le deuxième développement puis-je garder DL(f) et dire que le résultat demandé est encore DL(f) ?
Pour le 1 + xy on a bien en dérivant en x puis en y une somme qui doit apparaître quelque part à cause du produit dans yexp(xy).
Et donc ce n'est pas simplement le dl de f qui reste.
Enfin, ici non puisque visiblement les dérivées suivantes seront nulles mais c'est pour s'assurer qu'il n'y ait pas de confusion.